2017年、福井大

数列の初項から第までの和が、
\begin{equation}
S_n=n+2a_n
\end{equation}を満たしているとき、数列の一般項を求めよ。

問題文は至極シンプルに書かれています。
この問題の問題点は次の2点です。

1. 数列の一般項を求める問題で必須の、初項が明示されていない。
2. 和の項が条件で出ている。

というところです。
どちらも、

数列の初項から第項までの和

が鍵になっています。

和の当たり前な関係

問題文にもあるように、
\begin{equation}
S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n
\end{equation}です。
さらに、
\begin{equation}
S_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n+a_{n+1}
\end{equation}です。
したがって、
\begin{equation}
S_{n+1}-S_n=a_{n+1}
\end{equation}となります。
第項までの和に第項を加えると、当然、第項までの和になります。
これで、を消去することができそうです。

ととの当たり前な関係

当たり前のことですが、
\begin{equation}
S_1=a_1
\end{equation}です。
条件で与えられた式でとすると、
\begin{equation}
a_1=1+2a_1
\end{equation}となります。
ゆえに、
\begin{equation}
a_1=-1
\end{equation}です。
これで、初項を求めることができました。

本題

いよいよ本題です。
問題文で与えられた式をもう一度書いてみましょう。
\begin{eqnarray}
S_n &=& n &+&2a_n \\
S_{n-1} &=& (n-1) &+& 2a_{n-1}
\end{eqnarray}
与えられた式のをに置き換えたものも併せて書いておきました。
上の式から下の式を引いてみましょう。
\begin{equation}
S_n-S_{n-1}=a_n
\end{equation}なので、
\begin{equation}
a_n=1+2a_n-2a_{n-1}
\end{equation}となります。
式を整理しましょう。
\begin{equation}
a_n=2a_{n-1}-1
\end{equation}となります。

ここで、徐に両辺から1を引いてみましょう。
\begin{equation}
a_n-1=2a_{n-1}-2
\end{equation}右辺の2を括り出します。
\begin{equation}
a_n-1=2(a_{n-1}-1)
\end{equation}両辺の形が係数の2を除いて同じになりました。

ここから先は、の添字を1ずつずらしていきます。
\begin{eqnarray}
a_n-1 &=& 2(a_{n-1}-1) &\\
&=& 2^2(a_{n-2}-1) &\\
&=& 2^3(a_{n-3}-1) &\\
& \vdots & &\\
&=& 2^{n-1}(a_1-1) &\\
&=& -2^n &(\because a_1=-1)
\end{eqnarray}
添字をずらしていくとき、の下付き添字と2のべき乗の上付き添字の合計は変わらないことに気を付ければ、間違えにくくなります。

以上より、求めるの一般項は、
\begin{equation}
a_n=-2^n+1
\end{equation}となります。