三角関数には、
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \tag{1}
\end{equation}という関係があります。
分かり易い、特徴のある関係です。
この式は、が何であっても成り立ちます。
三角関数・2乗の和 - 数式で独楽する
ここから派生して得られる関係があります。
では、見ていきましょう。
式(1)の両辺をで割ります。
\begin{equation}
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\end{equation}であるので、
\begin{equation}
1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \tag{2}
\end{equation}となります。
逆数表現を避けるのであれば、
\begin{equation}
1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta \tag{2'}
\end{equation}となります。
式(2)の逆数をとると、
\begin{equation}
\cos^2 \theta = \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \tag{3}
\end{equation}となります。
ということで、三角比の2乗については、
\begin{align}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \tag{1}\\
1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \tag{2}\\
\cos^2 \theta = \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \tag{3}
\end{align}
が成り立ちます。
