三角関数には、
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
\end{equation}という関係があります。
分かり易い、特徴のある関係です。
この式は、θが何であっても成り立ちます。
では、見ていきましょう。
図のように、直角三角形の直角でない角θと、底辺x、垂辺y、斜辺rを定めると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \frac{y}{r} \\
\cos \theta &=& \frac{x}{r} \\
\tan \theta &=& \frac{y}{x}
\end{eqnarray}
一方で、
\begin{equation}
x^2+y^2=r^2
\end{equation}が成り立っています。こちらは三平方の定理です。
両辺をで割ります。
\begin{equation}
\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} =1
\end{equation}
ここで、サインとコサインの式を入れてみましょう。
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1
\end{equation}であることを示すことができました。
この式は、
\begin{equation}
(x,y)=(\cos \theta,\sin \theta)
\end{equation}が
\begin{equation}
x^2+y^2=1
\end{equation}を満たすことを示しています。
