図において、∠POQの大きさは、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_0^{t_0} \frac{dt}{1+t^2} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
本稿では、こんなもので角度を表すことができるのか？
を考えていきます。
「弧度法」による角の表現とは、
角の大きさ、弧度法 - 数式で独楽する
で、
角の頂点を中心にして円を描き、
角をなす2辺の間にできる扇型の円弧の長さの、
円の半径に対する比
と書きました。
言い換えると、
半径1の扇形の弧の長さ
で角度を表すということです。
ということで、図の弧PQの長さを求めていきます。
まず、弧PQ上の点は、
\begin{equation}
x^2+y^2=1
\end{equation}を満たします。
角の大きさを表現する その3 - 数式で独楽する
では、x, yは媒介変数tを用いて
\begin{eqnarray}
x &=& \cos \theta &=& \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \\
y &=& \sin \theta &=& \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\end{eqnarray}
と表して式(1)を導きました。。
三角関数の媒介変数表記・その2 - 数式で独楽する
では、媒介変数tを
三角関数の媒介変数表記 - 数式で独楽する
で紹介した、
\begin{eqnarray}
x &=& \cos \theta &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \tag{2} \\
y &=& \sin \theta &=& \frac{2t}{1+t^2} \tag{3} \\
t &=& \tan \frac{\theta}{2} \tag{4}
\end{eqnarray}
とした場合はどうでしょうか？
みていきましょう。
弧の長さθは、
\begin{equation}
\theta = \int_0^{t_0} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt \tag{5}
\end{equation}で表すことができます。
曲線の長さ - 数式で独楽する
式(2)を微分すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dt} &=& \frac{-2t(1+t^2)-(1-t^2)\cdot2t}{(1+t^2)^2} \\
&=& -\frac{4t}{(1+t^2)^2} \tag{6}
\end{eqnarray}
式(3)を微分すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dt} &=& \frac{2(1+t^2)-2t \cdot 2t}{(1+t^2)^2} \\
&=& \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2} \tag{7}
\end{eqnarray}
式(6), (7)より、
\begin{eqnarray}
\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2}
&=& \sqrt{\frac{16t^2}{(1+t^2)^4}+\frac{4(1-t^2)^2}{(1+t^2)^4}} \\
&=& \sqrt{\frac{16t^2+4(1-2t^2+t^4)}{(1+t^2)^4}} \\
&=& \sqrt{\frac{4(1+2t^2+t^4)}{(1+t^2)^4}} \\
&=& \sqrt{\frac{4(1+t^2)^2}{(1+t^2)^4}} \\
&=& \sqrt{\frac{1}{(1+t^2)^2}} \\
&=& \frac{1}{1+t^2} \tag{8}
\end{eqnarray}
となります。
式(8)を式(5)に入れると、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_0^{t_0} \frac{2dt}{1+t^2} \tag{9}
\end{equation}が得られます。
形が式(1)とは少し違います。
ここで、tを
\begin{equation}
t=\tan \frac{\theta}{2} \tag{4}
\end{equation}としたことを思い出します。
\begin{equation}
0 \leq t \leq t_0のとき0 \leq \theta \leq \theta_0
\end{equation}であり、
\begin{equation}
dt = \frac{1}{2} \left( 1+\tan^2 \frac{\theta}{2} \right)
\end{equation}なので、式(9)の右辺は、
\begin{eqnarray}
\int_0^{t_0} \frac{2dt}{1+t^2} &=& \int_0^{\theta_0} d\theta \\
&=& \left[ \ \theta \begin{array}{cc}
\\
\\
\end{array}
\right] _0^{\theta_0} \\
&=& \theta_0
\end{eqnarray}
となります。
途中、
\begin{equation}
\int_0^{\theta_0} d\theta = \theta_0
\end{equation}で改めて
\begin{equation}
t=\tan \theta
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_0^{t_0} \frac{dt}{1+t^2} \tag{1}
\end{equation}となります。
