指数関数の級数展開とオイラーの公式

オイラーの公式とは、指数関数と三角関数に次のような関係があることをいいます。

\begin{equation}
e^{ix} = \cos x + i \sin x \tag{1}
\end{equation}

ここで $i$ は虚数単位で、
\begin{equation}
i^2=-1 \tag{2}
\end{equation}を満たす数です。
$x$ の単位はラジアンで、半径1、中心角 $x$ の扇形の弧の長さは $x$ となります。

このページでは、この式(1)を導いていきます。

指数関数をマクローリン展開すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
e^x &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
&=& 1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \tag{3}
\end{eqnarray}

三角関数をマクローリン展開すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\sin x &=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
&=& x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \tag{4} \\
\cos x &=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\
&=& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \tag{5}
\end{eqnarray}
さて、ここで式(3)の $x$ を $ix$ に置き換えます。式(2)により、次のようになります。
\begin{eqnarray}
e^{ix} &=& 1+ ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots \\
&=& \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) +i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots \right) \tag{6}
\end{eqnarray}
式(4), (5), および(6)を比較します。
式(6)の実部は式(5)に、虚部は式(4)にそれぞれ等しいことが分かります。