三角関数は、次のように表すことができます。
三角関数の媒介変数表記 - 数式で独楽する
\begin{equation}
t = \tan \frac{\theta}{2}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos \theta &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\tan \theta &-& \frac{2t}{1-t^2}
\end{eqnarray}
この表現が妥当かどうか、みてみましょう。
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
\end{equation}が成り立てば、妥当であると言えます。
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right)^2 + \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right)^2
&=& \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1 + t^2)^2} \\
&=& \frac{1 + 2t^2 + t^4}{(1 +t^2)^2} \\
&=& \frac{(1 + t^2)^2}{(1 + t^2)^2} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
単なる因数分解の演習ですね。
