三角関数の媒介変数表記とピタゴラス数

\begin{equation}
x^2 + y^2 = z^2 \tag{1}
\end{equation}を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組をピタゴラス数といいます。

\begin{equation}t = \tan \frac{\theta}{2}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \frac{2t}{1+t^2} \\
\cos \theta &=& \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
\tan \theta &-& \frac{2t}{1-t^2}
\end{eqnarray}

を用いて得ることができます。

\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
(x,y,z)=\left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2}, 1 \right) \tag{2}
\end{equation}は
\begin{equation}
x^2 + y^2 = z^2 \tag{1}
\end{equation}を満たします。

ここでは、 $(x, y, z)$ として自然数の組を考えていきます。
よって式(2)の各成分を $1+t^2$ 倍し、分母を払います。
\begin{equation}
(x,y,z) = \left( 1-t^2, \ 2t, \ 1+t^2 \right) \tag{3}
\end{equation}勿論、式(3)は式(1)を満たします。

さらに、自然数 $m, n \ (m>n)$ を用いて
\begin{equation}
t=\frac{n}{m}
\end{equation}とすると、式(3)は次のようになります。
\begin{equation}
(x,y,z) = \left( 1-\frac{n^2}{m^2}, \ \frac{2n}{m}, \ 1+\frac{n^2}{m^2} \right) \tag{4}
\end{equation}
式(4)の各成分を $m^2$ 倍し、分母を払います。
\begin{equation}
(x,y,z) = \left( m^2-n^2, \ 2mn, \ m^2+n^2 \right) \tag{5}
\end{equation}式(4), (5)も式(1)を満たします。
式(5)の成分は全て自然数です。
よって式(5)はピタゴラス数であると言えます。