図において、∠POQの大きさは、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_0^{t_0} \frac{dt}{1+t^2} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
本稿では、こんなもので角度を表すことができるのか？
を考えていきます。
「弧度法」による角の表現とは、
角の大きさ、弧度法 - 数式で独楽する
で、
角の頂点を中心にして円を描き、
角をなす2辺の間にできる扇型の円弧の長さの、
円の半径に対する比
と書きました。
言い換えると、
半径1の扇形の弧の長さ
で角度を表すということです。
ということで、図の弧PQの長さを求めていきます。
まず、弧PQ上の点は、
\begin{equation}
x^2+y^2=1
\end{equation}を満たします。このとき、x, yは媒介変数tを用いて
\begin{eqnarray}
x &=& \cos \theta &=& \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \tag{2} \\
y &=& \sin \theta &=& \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \tag{3}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
三角関数の媒介変数表記・その2 - 数式で独楽する
したがって、弧の長さθは、
\begin{equation}
\theta = \int_0^{t_0} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt \tag{4}
\end{equation}で表すことができます。
曲線の長さ - 数式で独楽する
式(2)を微分すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dt} &=& -\frac{1}{2} \frac{2t}{(1+t^2)^{3/2}} \\
&=& -\frac{t}{(1+t^2)^{3/2}} \tag{5}
\end{eqnarray}
式(3)を微分すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dt} &=& \frac{\sqrt{1+t^2} -t \cdot \displaystyle \frac{1}{2} \frac{2t}{\sqrt{1+t^2}}}{1+t^2} \\
&=& \frac{1}{(1+t^2)^{3/2}} \tag{6}
\end{eqnarray}
式(5), (6)より、
\begin{eqnarray}
\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2}
&=& \sqrt{\frac{t^2}{(1+t^2)^3} + \frac{1}{(1+t^2)^3}} \\
&=& \sqrt{\frac{1+t^2}{(1+t^2)^3}} \\
&=& \sqrt{\frac{1}{(1+t^2)^2}} \\
&=& \frac{1}{1+t^2} \tag{7}
\end{eqnarray}
となります。
式(7)を式(4)に入れると、
\begin{equation}
\theta_0 = \int_0^{t_0} \frac{dt}{1+t^2} \tag{1}
\end{equation}が得られます。
さて、冒頭に掲げた式(1)の意味するところは何でしょうか？
もう少し踏み込んでみましょう。
式(1)において、
\begin{equation}
t = \tan \theta \tag{8}
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
t=0のとき、\tan \theta = 0なので、\theta =0
\end{equation}となります。
\begin{equation}
t=t_0のとき、\tan \theta = t_0で\theta = \theta_0
\end{equation}とします。
式(8)を微分すると、
\begin{eqnarray}
dt &=& (1+ \tan^2 \theta) d\theta \\
&=& (1+t^2) d\theta
\end{eqnarray}
となります。
これら全てを式(1)に入れると、
\begin{eqnarray}
\int_0^{t_0} \frac{dt}{1+t^2} &=& \int_0^{\theta_0} \frac{1+t^2}{1+t^2} d\theta \\
&=& \int_0^{\theta_0} d\theta \\
&=& \left[ \ \theta \begin{array}{cc}
\\
\\
\end{array}
\right] _0^{\theta_0} \\
&=& \theta_0
\end{eqnarray}
つまり、式(1)の意味するところは、
\begin{equation}
t_0 = \tan \theta_0
\end{equation}すなわち、逆三角関数
\begin{equation}
\theta_0 = \tan^{-1} t_0
\end{equation}ということです。
