三角関数について、
三角関数の媒介変数表記 - 数式で独楽する
とは異なる媒介変数表記を作ることができます。
\begin{equation}
t = \tan \theta
\end{equation}とするとき、
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \\
\sin \theta &=& \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\end{eqnarray}
というものです。
みていきましょう。
図のを用いると、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{x}{r} \\
\sin \theta &=& \frac{y}{r} \\
\tan \theta &=& \frac{y}{x}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
x^2+y^2=r^2
\end{equation}であるので、
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\sin \theta &=& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
\end{eqnarray}
となります。
ここで
\begin{equation}
t = \tan \theta = \frac{x}{y}
\end{equation}として、コサインとサインを変形していきます。
分母分子をで割り、無理やり
を作っていくと、冒頭の媒介変数表記を得ることができます。
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle \left( \frac{y}{x} \right) ^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \\
\sin \theta &=& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
&=& \frac{\displaystyle \frac{y}{x}}{\sqrt{1+\displaystyle \left( \frac{y}{x} \right) ^2}} \\
&=& \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\end{eqnarray}
検算をしてみましょう。
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \right) ^2 + \left( \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \right) ^2
&=& \frac{1}{1+t^2} + \frac{t^2}{1+t^2} \\
&=& \frac{1+t^2}{1+t^2} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
ということで、冒頭の表現は正しいことが分かります。
