\begin{eqnarray}
\sin \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{1} \\
\cos \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{2} \\
\cos \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{3} \\
\sin \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{4}
\end{eqnarray}
積和の公式は、和積の公式から導くこともできます。
和積の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin A + \sin B &=& 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} \tag{5} \\
\sin A - \sin B &=& 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \tag{6} \\
\cos A + \cos B &=& 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \tag{7} \\
\cos A - \cos B &=& -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \tag{8}
\end{eqnarray}
式(5)~(8)において、
\begin{equation}
\alpha = \frac{A+B}{2} , \ \beta = \frac{A-B}{2}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
A=\alpha+\beta, \ B=\alpha-\beta
\end{equation}となります。
これを式(5)~(8)に代入すると、式(1)~(4)が得られます。
\begin{eqnarray}
\sin \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{1} \\
\cos \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{2} \\
\cos \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{3} \\
\sin \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{4}
\end{eqnarray}
