関数は、周期が
の周期関数とします。
\begin{equation}
f(x +2L) = f(x)
\end{equation}とします。
さらに、
\begin{equation}
f(x)= \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \tag{1}
\end{equation}と展開できるものとします。
このとき、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
みていきましょう。
式(1)より、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L f(x) \, dx &=& \frac{a_0}{2} \cdot 2L = a_0 L \\
\int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \int_{-L}^L a_n \cos^2 \frac{n \pi x}{L} \, dx = a_n L \\
\int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \int_{-L}^L a_n \sin^2 \frac{n \pi x}{L} \, dx = b_n L
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
サイン、コサインを周期の整数倍で定積分すると0になります。
サインの2乗、コサインの2乗の定積分は、倍角の公式を用いて求めます。
定積分の計算はリンク先を参照下さい。
もう少し詳しい計算はこちら。
フーリエ係数 - 数式で独楽する
さて、冒頭の式は、「周期関数は正弦関数、余弦関数の和で表せる」という主張です。言い換えると、「正弦波の重ね合わせで複雑な波を記述できる」というものです。
時間的に複雑に変化する波が、周期の逆数の倍数で記述できるようになり、解析が容易になるという利点が出てきます。
