フーリエ積分公式
\begin{equation}
f(x) = \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \cos q(x -u)
\end{equation}が条件付きで成立します。
周期がの周期関数
のフーリエ級数展開
\begin{eqnarray}
f_L (x) &=& \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \tag{1} \\
\\
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f_L (x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f_L(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}
フーリエ級数 - 数式で独楽する
において、
\begin{eqnarray}
q_n &=& \frac{n\pi}{L} \\
\Delta q &=& q_n-q_{n -1} = \frac{\pi}{L}
\end{eqnarray}とします。
このとき、
\begin{eqnarray}
f_L (x) &=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f_L (x) \, dx \\
&& +\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \Delta q \left[ \cos q_n x \int_{-L}^L f_L (u) \cos q_n u \, du +\sin q_n x \int_{-L}^L f_L (u) \sin q_n u \, du \right] \tag{4}
\end{eqnarray}となります。
ここで、とすることを考えましょう。周期性を考慮しなくてよくなります。
\begin{equation}
\lim_{L \to \infty} f_L (x) = f(x)
\end{equation}とします。
また、
\begin{equation}
\lim_{L \to \infty} \int_{-L}^L |f_L (x)| \, dx = \int_{-\infty}^\infty |f(x)| \, dx
\end{equation}は収束するものと仮定します。
\begin{equation}
\lim_{L \to \infty} \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f_L (x) \, dx = 0
\end{equation}なので、式(4)は次のようになります。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \lim_{L \to \infty} f_L (x) \\
&=& \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \Delta q \left[ \cos q_n x \int_{-\infty}^\infty f(u) \cos q_n u \, du +\sin q_n x \int_{-\infty}^\infty f(u) \sin q_n u \, du \right]
\end{eqnarray}
式中、となることを踏まえると、次のようになります。見易さのため、積分の演算を表す記号を左側に置くことにします。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^\infty d q \, \cos qx \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \cos qu +\int_0^\infty d q \, \sin qx \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \sin qu \right] \tag{5} \\
&=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty d q \int_{-\infty}^\infty du \, f(u) \cos q(x -u) \tag{6}
\end{eqnarray}となり、冒頭の関係式を得ます。
また、式(5)より、
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[ A(q) \cos qx +B(q) \sin qx \right] \, d q \\
\\
A(q) &=& \int_{-\infty}^\infty f(u) \cos qu \, du \\
B(q) &=& \int_{-\infty}^\infty f(u) \sin qu \, du
\end{eqnarray}が成り立ちます。
