連続する3整数の積で和をとると、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。
連続する3整数の積で和をとると、連続4整数の積の1/4となる
というものです。
証明していきます。
次の恒等式
\begin{equation}
k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} \{ k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - (k -1)k(k + 1)(k + 2) \}
\end{equation}において、とし、和をとります。
左辺は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2)
\end{equation}となります。
右辺の方は、和をとることで相殺され、残るのは、
\begin{equation}
\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。
ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。