数式で独楽する

数式を使って楽しむブログです

[tex: ]

連続3整数の積で和をとる

連続する3整数の積で和をとると、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。


連続する3整数の積で和をとると、連続4整数の積の1/4となる
というものです。

証明していきます。

次の恒等式
\begin{equation}
k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} \{ k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - (k -1)k(k + 1)(k + 2) \}
\end{equation}において、 k = 1,2, \cdots , nとし、和をとります。

左辺は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2)
\end{equation}となります。

右辺の方は、和をとることで相殺され、残るのは、
\begin{equation}
\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。

ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)(k + 2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{equation}となります。

連続2整数の積で和をとる - 数式で独楽する
連続m整数の積で和をとる - 数式で独楽する