2004年後期 京大 理系 第5問

を自然数とする。次の3つの不等式(1), (2), (3)をすべて満たす自然数の組はいくつあるか、を用いて表せ。
(1)
(2)
(3)

解答例

のとり得る範囲は
\begin{equation}
d = 2, 3, \cdots, k +1, \cdots, n
\end{equation}の通りです。
に対してのとり得る範囲は
\begin{equation}
a = 1, 2, \cdots, l, \cdots, k
\end{equation}の通りです。
このに対して、のとり得る範囲は
\begin{eqnarray}
b &=& l, & l +1, l +2, \cdots, & k \\
c &=&& l +1, l +2, \cdots, & k, k +1
\end{eqnarray}の各々通りです。
の組は通りです。

これより、求める数は
\begin{equation}
N = \sum_{k = 1}^{n -1} \sum_{l = 1}^k (k -l +1)^2
\end{equation}となります。

\begin{eqnarray}
\sum_{l = 1}^k (k -l +1)^2 &=& k^2 +\cdots +2^2 +1^2 \\
&=& \frac{1}{6} \, k(k +1)(2k +1)
\end{eqnarray}なので 、
自然数の2乗の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
N = \sum_{k = 1}^{n -1} \frac{1}{6} \, k(k +1)(2k +1) \tag{1}
\end{equation}となります。

少し変形します。
\begin{equation}
N = \frac{1}{6} \, \sum_{k = 1}^{n -1} \{ 2k(k +1)(k +2) -3k(k +1) \}
\end{equation}
括弧内の2項について、
\begin{eqnarray}
&& \sum_{k = 1}^{n -1} 2k(k +1)(k +2) \\
&& = \sum_{k = 1}^{n -1} \frac{1}{2} \, \{ k(k +1)(k +2)(k +3) -(k -1)k(k +1)(k +2) \} \\
&& = \frac{1}{2} \, (n -1)n(n +1)(n +2) \\
&& \sum_{k = 1}^{n -1} 3k(k +1) \\
&& = \sum_{k = 1}^{n -1} \{ k(k +1)(k +2) -(k -1)k(k +1) \} \\
&& = (n -1)n(n +1)
\end{eqnarray}なので、
連続2整数の積で和をとる - 数式で独楽する
連続3整数の積で和をとる - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
N &=& \frac{1}{6} \, \left \{ \frac{1}{2} \, (n -1)n(n +1)(n +2) -(n -1)n(n +1) \right \} \\
&=& \frac{1}{12} \, (n -1)n^2 (n +1)
\end{eqnarray}となります。

解説

を定めればの組の数が分かります。
とはどちらを先に固定してもよいですが、本稿ではを先に固定して計算を楽にしています。
和の記号が二重になっているところは内側から処理します。
式(1)の処理は、本稿のようにすれば計算は楽になります。