連続する2整数の積で和をとると、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2)
\end{equation}となります。
連続する2整数の積で和をとると、連続3整数の積の1/3となる
というものです。
証明していきます。
次の恒等式
\begin{equation}
k(k + 1) = \frac{1}{3} \{ k(k + 1)(k + 2) - (k -1)k(k + 1) \}
\end{equation}において、とし、和をとります。
左辺は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)
\end{equation}となります。
右辺の方は、和をとることで相殺され、残るのは、
\begin{equation}
\frac{1}{3} n(n+1)(n+2)
\end{equation}となります。
ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2)
\end{equation}となります。
