2001年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

整数 $n$ に対し $\displaystyle f(n) = \frac{n(n -1)}{2}$ とおき、 $a^n = i^{f(n)}$ と定める。ただし $i$ は虚数単位とする。このとき $a_{n +k} = a_n$ が任意の整数 $n$ に対して成り立つような正の整数 $k$ をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

$i^4 = 1$ なので正の整数 $m$ に対し
\begin{equation}
f(n +k) = f(n) +4m \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
f(n) &=& \frac{n(n -1)}{2} \\
f(n +k) &=& \frac{(n +k)(n +k -1)}{2}
\end{eqnarray}を式(1)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{(n +k)(n +k -1)}{2} = \frac{n(n -1)}{2} +4m
\end{equation}となります。
整理します。
\begin{eqnarray}
(n +k)(n +k -1) &=& n(n -1) +8m \\
n^2 +(2k -1)\, n +k(k -1) &=& n^2 -n +8m \\
2kn +k^2 -k &=& 8m
\end{eqnarray}したがって、
\begin{equation}
k(2n +k -1) = 8m \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。