有理数と無理数をそれぞれ
\begin{equation}
\frac{p}{q}, \, r
\end{equation}とします。ここでは互いに素な整数です。
有理数と無理数の和が有理数と仮定します。つまり、互いに素な整数を用いて
\begin{equation}
\frac{p}{q} \cdot r = \frac{m}{n}
\end{equation}と表せると仮定します。
変形します。
\begin{equation}
r = \frac{mq}{np}
\end{equation}
式の左辺は無理数、右辺は有理数であり、矛盾が生じます。
よって、無理数と0でない有理数の積は無理数であることが示されました。
背理法 - 数式で独楽する
