連続する整数の積で和をとると、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)\cdots(k + m - 1) = \frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots(n+m)
\end{equation}となります。
連続する整数の積で和をとると、連続
整数の積の
となる
というものです。
証明していきます。
次の恒等式
\begin{equation}
k(k + 1)\cdots(k + m -1) = \frac{1}{m+1} \{ k(k + 1)\cdots(k + m) - (k -1)k(k + 1)\cdots(k + m -1) \}
\end{equation}において、とし、和をとります。
左辺は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)\cdots(k + m -1)
\end{equation}となります。
右辺の方は、和をとることで相殺され、残るのは、
\begin{equation}
\frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots(n+m)
\end{equation}となります。
ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k(k + 1)\cdots(k + m -1) = \frac{1}{m+1} n(n+1)\cdots(n+m)
\end{equation}となります。
