開平機能のない電卓で平方根を求める

開平機能のない、つまり[ $\sqrt{\quad }$ ]ボタンのない電卓でも、次の手順で平方根 $\sqrt{a}$ を求めることができます。

本稿では、
[　]で括ったものはボタンを押すことを、
括らないものは数字ボタンを押すことを意味します。

カシオの電卓の場合

[AC][MC] $x_0$ [M+]
$a$ [÷][MR][=][M+][MR][÷]2[=][MC][M+]
$a$ [÷][MR][=][M+][MR][÷]2[=][MC][M+]
(繰り返し)
$a$ [÷][MR][=][M+][MR][÷]2[=]
(値が変わらなくなれば終了)

初期値 $x_0$

キヤノンの電卓の場合

[CA] $x_0$ [M+]
$a$ [÷][RM/CM][=][M+=][RM/CM][RM/CM][÷]2[=][M+=]
$a$ [÷][RM/CM][=][M+=][RM/CM][RM/CM][÷]2[=][M+=]
(繰り返し)
$a$ [÷][RM/CM][=][M+=][RM/CM][RM/CM][÷]2[=]
(値が変わらなくなれば終了)

検証はLS-101Tで行いました。
[RM/CM]ボタンは、
1回押すとメモリを呼び出し、
2回連続で押すとメモリを消去します。

解説

ニュートン法を用いています。考え方は次の通りです。
ニュートン法 - 数式で独楽する

方程式 $x^2=a$ の解を求めるに当たり、次のような手順を踏んでいきます。
f:id:toy1972:20200130071402g:plain:w300

手順1

座標平面( $xy$ 平面上)に $y=x^2-a$ のグラフを描きます。

手順2

解 $x = \sqrt{a}$ の近傍に点P $(x_0, \, {x_0}^2-a)$ を定めます。
電卓操作手順1行目の[AC][MC] $x_0$ [M+]の部分です。

手順3

点Pで $y=f(x)$ の接線を引きます。
接線の方程式は、
\begin{equation}
y - {x_0}^2 +a =2x_0(x - x_0) \tag{1}
\end{equation}です。

手順4

接線と $x$ 軸の交点 $(x_1, 0)$ を求めます。式(1)で $y=0$ とします。
\begin{equation}
-{x_0}^2 + a = 2x_0(x_1 - x_0)
\end{equation}これより
\begin{eqnarray}
x_1 &=& x_0 - \frac{{x_0}^2-a}{2x_0} \\
&=& \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{a}{x_0} \right) \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。