正規分布

「正規分布」とは、連続的な確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}}
\end{equation}で与えられている場合をいいます。 $N(m, \sigma^2)$ で表します。

式中の $e$ はネイピア数です。
ネイピア数 - 数式で独楽する

正規分布 $N(m, \sigma^2)$ の平均は $m$ です。
\begin{equation}
E(X) = \int_{-\infty}^\infty x \, f(x) \, dx
= \int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx = m
\end{equation}

分散は $\sigma^2$ です。
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} \right) dx = \sigma^2 + m^2 \\
V(X) &=& E(X^2) - \bigl( E(X) \bigr)^2 \\
&=& \sigma^2 + m^2 - m^2 \\
&=& \sigma^2
\end{eqnarray}

標準偏差は $\sigma$ です。

なお、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \, \sigma} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x -m)^2}{2 \sigma^2}$}} dx = 1
\end{equation}です。

標準正規分布

正規分布 $N(0,1)$ を「標準正規分布」といいます。
$N(m, \sigma)$ に従う変数 $X$ を
\begin{equation}
Z = \frac{X -m}{\sigma}
\end{equation}と置き換えると、 $Z$ は標準正規分布に従います。

確率密度関数 $f(x)$ は、
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}}
\end{equation}です。

平均は0です。
\begin{equation}
E(X) = \int_{-\infty}^\infty x \, f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} \right) dx = 0
\end{equation}

分散は1です。
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x^2 \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} \right) dx = 1 \\
V(X) &=& E(X^2) - \bigl( E(X) \bigr)^2 \\
&=& 1 + 0 - 0 \\
&=& 1
\end{eqnarray}

標準偏差は1です。

なお、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{x^2}{2}$}} dx = 1
\end{equation}です。

\begin{equation}
\int_0^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{t^2}{2}$}} dx
\end{equation}の値を纏めた表は、数字の事典みたいな本の巻末に載っています。

詳しい計算は
円周率とネイピア数の不思議な関係 - 数式で独楽する
 正規分布の理解のための準備 - 数式で独楽する
を参照ください。