開平機能のない電卓で平方根を求める　の補足

開平機能のない、つまり[ $\sqrt{\quad }$ ]ボタンのない電卓でも、次の手順で平方根 $\sqrt{a}$ を求めることができます。
という話を
開平機能のない電卓で平方根を求める - 数式で独楽する
でしました。

本当だろうか？
という話を本稿でしていきます

初期値 $x_0$ と次の値 $x_1$ の関係は
\begin{equation}
x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{a}{x_0} \right)
\end{equation}となることを既に述べました。
ここでは、
\begin{equation}
x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) \quad(n=0,1,2, \cdots ) \tag{1}
\end{equation}で定義される数列 $\{ x_n \}$ が収束するのか、ということを見ていきます。
なお、
\begin{equation}
x_0 > \sqrt{a} \tag{2}
\end{equation}としておきます。

単調減少である
下に有界である

ことを示します。

単調減少を示す

式(1)のため、負でない全ての整数 $n$ に対して
\begin{eqnarray}
x_{n+1} - x_n &=& \frac{1}{2} \left( \frac{a}{x_n} - x_n \right) \\
&=& \frac{a - {x_n}^2}{2x_n} \\
&>& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
つまり、
\begin{equation}
x_0 > x_1 > x_2 > \cdots > x_n > \cdots \tag{4}
\end{equation}です。
なお、 $n=0$ で式(3)が成り立つようにするために、式(2)
\begin{equation}
x_0 > \sqrt{a}
\end{equation}としたのでした。

下に有界を示す

式(1)のため、負でない全ての整数 $n$ に対し、
\begin{eqnarray}
x_{n+1} - \sqrt{a} &=& \frac{1}{2} \left( x_n - 2\sqrt{a} + \frac{a}{x_n} \right) \\
&=& \frac{1}{2x_n} \left( {x_n}^2 - 2\sqrt{a}x_n + a \right) \\
&=& \frac{(x_n - \sqrt{a})^2}{2x_n} \\
&>& 0
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(2)もありますので、
\begin{equation}
x_n > \sqrt{a} \tag{5}
\end{equation}ということです。

単調減少かつ下に有界から分かること

単調減少を示す式(4)と、
下に有界を示す式(5)を合わせると、
\begin{equation}
\sqrt{a} < \cdots < x_n < \cdots < x_1 < x_0
\end{equation}となります。
任意の $\epsilon > 0$ に対し、ある $N \in \mathbb{N}$ が存在し、全ての $n > N$ に対して
\begin{equation}
|x_n - \sqrt{a}| < \epsilon
\end{equation}が成り立つことになります。
次のように書きます。
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists N \in \mathbb{N} \, \mathrm{s.t.} \, \forall n \in \mathbb{N} \, \biggl[ n > N \Rightarrow |x_n - \sqrt{a}| < \epsilon \biggr]
\end{equation}
これにより、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}
\end{equation}が成り立つことが分かります。
数列の極限 - 数式で独楽する