数列
を次の式
\begin{eqnarray}
x_1 &=& 0 \\
x_{n +1} &=& x_n +n +2\cos \left( \frac{2\pi x_n}{3} \right) \quad (n = 1,2,3, \cdots) \\
y_{3m +1} &=& 3m \\
y_{3m +2} &=& 3m +2 \\
y_{3m +3} &=& 3m +4 \quad (m = 0,1,2, \cdots)
\end{eqnarray}によって定める。このとき、数列の一般項を求めよ。
解答例
正の整数に対して
\begin{eqnarray}
x_{k +3} &=& x_{k +2} +k +2 +2\cos \left( \frac{2\pi x_{k +2}}{3} \right) \\
x_{k +2} &=& x_{k +1} +k +1 +2\cos \left( \frac{2\pi x_{k +1}}{3} \right) \\
x_{k +1} &=& x_k +k +2\cos \left( \frac{2\pi x_k}{3} \right)
\end{eqnarray}なので、 辺々相加えて
\begin{equation}
x_{k +3} = x_k +3k +3 +2\cos \left( \frac{2\pi x_{k +2}}{3} \right) +2\cos \left( \frac{2\pi x_{k +1}}{3} \right) +2\cos \left( \frac{2\pi x_k}{3} \right) \tag{1}
\end{equation}を得ます。
ところで、数列の出だしの部分は次の通りとなっています。
\begin{array}{c|ccccccc}
\hline
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\ \hline
x_n & 0 & 3 & 7 & 9 & 15 & 22 & \cdots \\
y_n & 0 & 2 & 4 & 3 & 5 & 7 & \cdots \\ \hline
\end{array}つまり、
は3の倍数であり、
は3の倍数ではない
ことが分かります。
これを踏まえ、連続する3項のうちいずれか2つが3の倍数であるときに、
が3の倍数であるか否かをまとめると次の通りとなります。表中、○は3の倍数、✕は3の倍数ではないことを表します。
\begin{array}{ccc|c}
\hline
x_k & x_{k +1} & x_{k +2} & x_{k +3} \\ \hline
\circ & \circ & \times & \circ \\
\circ & \times & \circ & \circ \\
\times & \circ & \circ & \times \\ \hline
\end{array}これより、
が3の倍数なら
も3の倍数である
ことが分かります。
数学的帰納法 - 数式で独楽する
したがって、式(1)は
\begin{equation}
x_{k +3} = x_k +3k +6 \tag{2}
\end{equation}となります。
一方、
\begin{equation}
y_{k +3} = y_k +3 \tag{3}
\end{equation}なので、式(2), (3)より
\begin{equation}
x_{k +3} -y_{k +3} = x_k -y_k +3k +3 \tag{4}
\end{equation}を得ます。
式(4)より、
\begin{eqnarray}
x_{3m +1} -y_{3m +1} &=& x_{3m -2} -y_{3m -2} +9m -3 \\
x_{3m -2} -y_{3m -2} &=& x_{3m -5} -y_{3m -5} +9m -12 \\
& \vdots & \\
x_7 -y_7 &=& x_4 -y_4 +9 \cdot 2 -3 \\
x_4 -y_4 &=& x_1 -y_1 +9 \cdot 1 -3
\end{eqnarray}を得ます。
辺々相加えて、
\begin{equation}
x_{3m +1} -y_{3m +1} = x_1 -y_1 +\sum_{l =1}^m (9l -3)
\end{equation}となります。右辺は
\begin{eqnarray}
x_1 -y_1 +\sum_{l =1}^m (9m -3) &=& 0 -0 +\frac{9}{2}\, m(m +1) -3m \\
&=& \frac{3m(3m +1)}{2}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
x_{3m +1} -y_{3m +1} = \frac{3m(3m +1)}{2} \tag{5}
\end{equation}を得ます。
同様にして、
\begin{equation}
x_{3m +2} -y_{3m +2} = x_{3m -1} -y_{3m -1} +9m
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
x_{3m +2} -y_{3m +2} &=& x_2 -y_2 +\sum_{l = 1}^m 9l \\
&=& 1 +\frac{9}{2} \, m(m +1) \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。
また、
\begin{equation}
x_{3m +3} -y_{3m+3} = x_{3m} -y_{3m} +9m +3
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
x_{3m +3} -y_{3n +3} &=& x_3 -y_3 +\sum_{l = 1}^m (9l +3) \\
&=& 3 +\frac{9}{2} \, m(m +1) +3m \\
&=& 3 +\frac{3m(3m +5)}{2} \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。
式(5)～(7)より、に対して以下のようになります。
の場合
\begin{equation}
x_n -y_n = \frac{(n -1)n}{2}
\end{equation}
の場合
\begin{equation}
x_n -y_n = 1 +\frac{(n -2)(n +1)}{2}
\end{equation}
の場合
\begin{equation}
x_n -y_n = 3 +\frac{(n -1)(n +2)}{2}
\end{equation}
