円周率とネイピア数の関係には、次のようなものがあります。
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}
\end{equation}
不思議な関係です。
正規分布の確率密度関数
\begin{equation}
N(m, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\, e^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize -\frac{(x - m)^2}{2\sigma ^2}$}}
\end{equation}にもが出て来ます。
確率密度関数であるので
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}N(m, \sigma^2) \, dx =1
\end{equation}なのですが、これも冒頭の関係によるものです。
では、確かめていきましょう。
求める積分を
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx \tag{1}
\end{equation}とします。
積分する関数の変数は別のものでも結果は同じであり、
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2} dy \tag{2}
\end{equation}でもあります。
おもむろに、求める積分の平方を考えると、式(1), (2)のため、
\begin{equation}
I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2} dy \tag{3}
\end{equation}となります。
ここで、
\begin{equation}
\iint_{A \times B} f(x)g(y) \, dx\, dy = \int_A f(x) \, dx \int_B g(y) \, dy \tag{4}
\end{equation}
二重積分の特殊な形 - 数式で独楽する
を用いると、式(3)は
\begin{equation}
I^2 = \iint \limits_{-\infty < x < \infty \\ -\infty < y < \infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx \, dy \tag{5}
\end{equation}となります。
式(5)で、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}と変換すると、
\begin{eqnarray}
dx \, dy = r \, dr \, d\theta \\
0 \leqq r < \infty \\
0 \leqq \theta < 2\pi
\end{eqnarray}となるので、
平面極座標の面積要素 - 数式で独楽する
式(5)は
\begin{equation}
I^2 = \iint \limits_{0 \leqq r < \infty \\ 0 \leqq \theta < 2\pi} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta \tag{6}
\end{equation}となります。
再び式(4)
二重積分の特殊な形 - 数式で独楽する
を用いると、式(6)は
\begin{equation}
I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty r \, e^{-r^2} dr
\end{equation}となります。
ここから先は易しい計算です。
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \biggl [ \, \theta \, \biggr]_0^{2\pi} \biggl[ -\frac{1}{2} \, e^{-r^2} \biggr]_0^\infty \\
&=& (2\pi - 0)\left \{ 0 -\left( -\frac{1}{2} \right) \right \} \\
&=& 2\pi \cdot \frac{1}{2} \\
&=& \pi \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。
そもそも
\begin{equation}
e^{-x^2} > 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
I > 0
\end{equation}です。
よって、式(7)より、
\begin{equation}
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}
\end{equation}を得ます。
