偏微分 - 数式で独楽する

「偏微分」とは、多変数函数についてある変数について微分することをいいます。このとき、他の変数は定数と見なして微分を行っています。

記号で書くと次のようになります。

多変数函数 $u = f(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ を $x_i$ で偏微分するとは、
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, \cdots , x_i + \Delta x_i, \cdots , x_n) - f(x_1, \cdots , x_i, \cdots , x_n)}{\Delta x_i}
\end{equation}を意味します。
表記は、
\begin{equation}
f_{x_i}, \ u_{x_i}
\end{equation}などがあります。

1変数函数の微分は「常微分」といいます。偏微分との対比を意識する場合に用います。
常微分のdに対し、偏微分では $\partial$ を用います。

デル
パーシャル
パーシャル　ディー
ラウンド　ディー

と読まれることが多いようです。

由来はギリシャ文字の「δ」*1のようです。
キリル文字の「д」*2のロシア語における斜体(イタリック)が「д」です。

2変数函数 $u = f(x,y)$ の場合、
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y)- f(x,y)}{\Delta x}
\end{equation}で、表記は
\begin{equation}
u_x, \ f_x
\end{equation}などがあります。他の変数についても同様です。

同じ変数での2回偏微分は
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, u_{xx}
\end{equation}などと表記します。

異なる変数で1回ずつ偏微分する場合は、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial y \, \partial x}, \ u_{xy}
\end{equation}などと表記します。
なお、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} \ u \right)
\end{equation}なる意味で、
函数 $u$ を $x$ で偏微分してから $y$ で偏微分するという意味です。
なので、例のような記述になっています。

*1:ラテン文字(所謂「普通のアルファベット」)のdに対応します。

*2:こちらもdに対応しています。