本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}
で表される2次元の極座標系についてまとめます。
極座標 - 数式で独楽する
面積要素
\begin{equation}
dS = r \, dr \, d\theta
\end{equation}
平面極座標の面積要素 - 数式で独楽する
単位ベクトル
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \ \boldsymbol{i} + \sin \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& - \sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \ \boldsymbol{j}
\end{eqnarray}
2次元極座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
偏微分の変換
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x} &=& \cos \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=& \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}
\end{eqnarray}
2次元極座標系の偏微分 - 数式で独楽する
2次元極座標系の偏微分~行列によるアプローチ - 数式で独楽する
ベクトルの変換
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_x \cos \theta + A_y \sin \theta \\
A_\theta &=& - A_x \sin \theta + A_y \cos \theta
\end{eqnarray}
2次元極座標系のベクトル - 数式で独楽する
勾配
\begin{equation}
\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}
2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する
2次元極座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
発散
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
\end{equation}
2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する
2次元極座標系の発散 ~ 内積のように導く - 数式で独楽する
回転
\begin{equation}
\nabla \times \boldsymbol{A} = \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right] \boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}
2次元極座標系の回転 - 数式で独楽する
2次元極座標系の回転 ~ 外積のように導く - 数式で独楽する
ラプラシアン(勾配の発散)
\begin{equation}
\nabla^2 u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{equation}
2次元極座標系のラプラシアン - 数式で独楽する
2次元極座標系のラプラシアン(勾配の発散) - 数式で独楽する
速度
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}
2次元極座標系の速度と加速度 - 数式で独楽する
加速度
\begin{equation}
\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} = \left( \frac{d^2 r}{dt^2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_r + \left( 2 \, \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} \right) \, \boldsymbol{e}_\theta
\end{equation}
2次元極座標系の速度と加速度 - 数式で独楽する
