東大 2020年前期理系第1問 - 数式で独楽する

$a,b,c,p$ を実数とする。不等式
\begin{eqnarray}
ax^2 + bx + c &>& 0 \\
bx^2 + cx + a &>& 0 \\
cx^2 + ax + b &>& 0
\end{eqnarray}
をすべて満たす実数 $x$ の集合と、 $x > p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

(1) $a,b,c$ はすべて0以上であることを示せ。
(2) $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) $p=0$ であることを示せ。

前置き

3つの不等式を全て満たす $x$ というのが曲者です。簡単に表せそうにありません。
その一方、問題文に気になる表現があります。
「すべて~であることを示せ」
「少なくとも1個は~であることを示せ」
の箇所です。
「全ての~が命題を満たす」の否定は「命題を満たさない~がある」です。
問題文の記述は、「背理法(悖理法、帰謬法)を使ってくれ」と言っているかのようです。

(1)の答案

$a,b,c$ のうち、いずれか1つが負であると仮定します。
このとき、 $x^2$ の係数が負となった不等式を満たす $x$ は、

存在しない *1
$\alpha < x < \beta$ *2

のいずれかとなります。
いずれの場合も、 $x > p$ を満たす $x$ の集合と一致することはあり得ません。

よって、
$a,b,c$ は全て0以上である
ことが示されました。

(2)の答案

$a,b,c$ の全てが0でないと仮定します。
このとき、不等式を満たす $x$ は、

全ての実数 $x$ *3
$x < \alpha, \ \beta < x$ *4

のいずれかとなります。
いずれの場合も、 $x > p$ を満たす $x$ の集合と一致することはあり得ません。

よって、
$a,b,c$ のうち、少なくとも1個は0である
ことが示されました。

(3)の答案

小問(1), (2)により、
\begin{equation}
a \geqq 0, \quad b \geqq 0, \quad c \geqq 0
\end{equation}かつ

$a,b,c$ のうち少なくとも1個が0である

ので、
\begin{equation}
c = 0
\end{equation}としても一般性を失いません。

このとき、3つの不等式は、
\begin{eqnarray}
ax^2 + bx &>& 0 \tag{3.1} \\
bx^2 + a &>& 0 \tag{3.2} \\
ax + b &>& 0 \tag{3.3}
\end{eqnarray}となります。

式(3.1)を変形すると
\begin{equation}
x(ax + b) > 0
\end{equation}です。
$a > 0$ の場合、 $b \geqq 0$ なので、式(3.1)を満たす $x$ は、
\begin{equation}
x < -\frac{b}{a}, \ 0 < x
\end{equation}となります。
$a = 0$ の場合、 $b > 0$ であれば、式(3.1)を満たす $x$ は、
\begin{equation}
x > 0
\end{equation}となります。*5

式(3.2)について考えます。
$b > 0$ かつ $a > 0$ の場合、全ての実数 $x$ が式(3.2)を満たします。
$b > 0$ かつ $a = 0$ の場合、式(3.2)を満たす $x$ は
\begin{equation}
x \ne 0
\end{equation}です。
$b = 0$ の場合、 $a > 0$ であれば全ての実数 $x$ が式(3.2)を満たします。*6

式(3.3)について考えます。
$a > 0$ の場合、式(3.3)を満たす $x$ は
\begin{equation}
x > -\frac{b}{a}
\end{equation}となります。
$a = 0$ の場合、 $b > 0$ であれば全ての実数 $x$ が式(3.3)を満たします。*7

以上より、3つの不等式を全て満たす$x$は、
\begin{equation}
x > 0
\end{equation}となります。
これが
\begin{equation}
x > p
\end{equation}と一致するので、
\begin{equation}
p = 0
\end{equation}となります。

講評

背理法を用いることで、随分と易しく解けた感じがあります。
小問(1), (2)があったので、背理法を用いる発想になったのだと考えます。
小問(3)の見通しが立てられたのは、小問(1), (2)があればこそです。
これが小問(1), (2)がなく「 $p = 0$ を示せ」とだけだと、途方に暮れていたでしょう。
数学オリンピック級です。