京大 2020年前期文系第2問 - 数式で独楽する

$x$ の2次関数で、そのグラフが $y = x^2$ のグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ。ただし、2つの関数のグラフが直交するとは、その点が2つのグラフの共有点であり、かつ接線どうしが直交することをいう。

解答例
補足

解答例

関数 $f(x), g(x)$ を次の通り定めます。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& x^2 \\
g(x) &=& ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)
\end{eqnarray}求める関数は $y=g(x)$ です。*1
このとき、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 2x \\
g'(x) &=& 2ax + b
\end{eqnarray}です。*2

まず、 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が2点で交わるので、 $f(x)=g(x)$ すなわち
\begin{equation}
(a - 1)x^2 + bx + c = 0 \tag{1}
\end{equation}は相異なる2つの実数解を持ちます。つまり、式(1)の判別式は
\begin{equation}
D = b^2 - 4(a - 1)c > 0 \tag{2}
\end{equation}です。この時点で、 $a \ne 1$ であることが分かります。*3

式(1)の2つの解を $\alpha, \beta \ (\alpha \ne \beta)$ とすると、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& - \frac{b}{a - 1} \tag{3} \\
\alpha \beta &=& \frac{c}{a - 1} \tag{4}
\end{eqnarray}なる関係を得ます。

次に、直交するということから、
\begin{eqnarray}
g'(\alpha) &=& - \frac{1}{f'(\alpha)} \\
g'(\beta) &=& - \frac{1}{f'(\beta)}
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
2a \alpha + b &=& - \frac{1}{2\alpha} \tag{5} \\
2a \beta + b &=& - \frac{1}{2\beta} \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。*4
なお、原点における $y=x^2$ の接線は $y=0$ で、直交する直線は $x = 0$ ですが、このような接線を持つ2次関数はありません。したがって $\alpha \ne 0, \ \beta \ne 0$ つまり
\begin{equation}
c \ne 0
\end{equation}となります。

式(5)より式(6)を引くと、
\begin{eqnarray}
2a (\alpha - \beta) &=& \frac{1}{2\beta} - \frac{1}{2\alpha} \\
&=& \frac{\alpha - \beta}{\alpha \beta}
\end{eqnarray}となります。 $\alpha \ne \beta$ なので $\alpha - \beta$ で割ることができ、
\begin{equation}
2a = \frac{1}{2\alpha \beta}
\end{equation}を得ます。
式(4)より、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{a - 1}{4c} \\
c &=& \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \tag{7}
\end{eqnarray}となります。

式(5)と(6)を辺々相加えると、
\begin{eqnarray}
2a(\alpha + \beta) + 2b &=& - \frac{1}{2\alpha} - \frac{1}{2\beta} \\
&=& - \frac{\alpha + \beta}{2\alpha \beta}
\end{eqnarray}を得ます。
式(3), (4)を用いると、
\begin{eqnarray}
- \frac{2ab}{a - 1} + 2b &=& \frac{b}{2c} \\
\left( \frac{2a}{a - 1} + \frac{1}{2c} - 2 \right) b &=& 0 \tag{8}
\end{eqnarray}となります。

式(8)より、
\begin{equation}
b = 0 \quad \mbox{or} \quad \frac{2a}{a - 1} + \frac{1}{2c} - 2 = 0
\end{equation}となります。*5

$b = 0$ の場合、
\begin{equation}
c = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \tag{7}
\end{equation}です。
式(1)が相異なる2解を持つための条件は、式(2), (7)より、
\begin{eqnarray}
D &=& -4(a - 1)c \\
&=& \frac{(a - 1)^2}{a} > 0
\end{eqnarray}つまり
\begin{equation}
a < 0
\end{equation}です。

$\displaystyle \frac{2a}{a - 1} + \frac{1}{2c} - 2 = 0$ の場合、式(7)を用いて式を変形していくと、
\begin{eqnarray}
\frac{2a}{a - 1} + \frac{2a}{a - 1} - 2 &=& 0 \\
\frac{2a}{a - 1} - 1 &=& 0 \\
2a - (a - 1) &=& 0 \\
a + 1 &=& 0 \\
a &=& -1
\end{eqnarray}を得ます。
再び式(7)に代入して
\begin{equation}
c = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。
このとき、式(2)により判別式は
\begin{equation}
D = b^2 +4 > 0
\end{equation}で、式(1)は相異なる2解を持ちます。

以上より、求める2次関数は、
\begin{equation}
y = ax^2 + \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \quad (a < 0) \tag{8}
\end{equation}または
\begin{equation}
y = -x^2 + bx + \frac{1}{2} \quad (bは任意)\tag{9}
\end{equation}となります。*6