接弦定理に対し、接弦定理の逆があります。
接弦定理 - 数式で独楽する
接弦定理の逆
直線ABに対し2点C, Dが反対側にあり、∠BAD = ∠BACならば、直線ADは三角形ABCの外接円の接線となる。
頂点Aで三角形ABCの外接円の接線を引きます。
辺ABに対して点Dと同じ側で、外接円の接線上に、適当に点Eを定めます。
接弦定理により、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{BAC} \tag{1}
\end{equation}です。
一方、命題の仮定で
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BAC} \tag{2}
\end{equation}となっています。
2点D, Eは直線ABに対して同じ側にあるので、式(1), (2)により、
直線ADと直線AEは一致します。
よって、∠BAD = ∠BACならば、直線ADは三角形ABCの外接円の接線となります。
