京大 2009年理系第2問その2 - 数式で独楽する

平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることを示せ。

解答例
- A, B, C, A', B', C'が同一円周上にある場合
- Pが△ABCの内心である場合
解説

解答例

A, B, C, A', B', C'が同一円周上にある場合

続きです。
京大 2009年理系第2問その1 - 数式で独楽する

Pが△ABCの内心である場合

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\begin{eqnarray}
a &=& \angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{PAC} \\
b &=& \angle \mathrm{PBC} = \angle \mathrm{PBA} \\
c &=& \angle \mathrm{PCA} = \angle \mathrm{PCB}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
a +b +c = 90^\circ \tag{1}
\end{equation}です。

A', B', C'がそれぞれ△PBC, △PCA, △PABの外心であることから、次のことが成り立ちます。

A'B', B'C', C'A'はそれぞれPC, PA, PBの垂直二等分線
A'P=A'B=A'C, B'P=B'C=B'A, C'P=C'A=C'B

ここで

BCとA'C', A'B'の交点をそれぞれQ, R
CAとB'A', B'C'の交点をそれぞれS, T
ABとC'B', C'A'の交点をそれぞれU, V

とします。

上記1項より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{QPB} = \angle \mathrm{QBP} = \angle \mathrm{ABP} =b
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\mathrm{PQ} \parallel \mathrm{AB}
\end{equation}が成り立ちます。
同様に、
\begin{eqnarray}
\mathrm{PR} & \parallel & \mathrm{AC} \\
\mathrm{PS} & \parallel & \mathrm{BC} \\
\mathrm{PT} & \parallel & \mathrm{BA} \\
\mathrm{PU} & \parallel & \mathrm{CA} \\
\mathrm{PV} & \parallel & \mathrm{CB}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、QT, RU, SVは1点Pで交わります。
また、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{TPU} = \angle \mathrm{QPR} =2a
\end{equation}となります。

さらに上記1, 2項を踏まえて
\begin{equation}
\angle \mathrm{A'BQ} = \angle \mathrm{A'CR} = a'
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{A'PQ} = \angle \mathrm{A'PR} &=& a' \\
\angle \mathrm{QPR} &=& 2a'
\end{eqnarray}となり、
\begin{equation}
a' = a
\end{equation}を得ます。
つまり、A, P, A'は同一直線上にあることが示されます。
同様に、B, P, B'およびC, P, C'もそれぞれ同一直線上にあることが分かります。

ここまでをまとめると、次に掲げる角の大きさもそれぞれ $a,b,c$ となります。角の記号は省略します。

$a$	A'PQ, A'PR, A'BC, A'CB
$b$	B'PS, B'PT, B'CA, B'AC
$c$	C'PU, C'PV, C'AB, C'BA

本表と式(1)より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{A'C'C} &=& a \\
\angle \mathrm{A'AC} &=& a
\end{eqnarray}も得ます。
つまり、
\begin{equation}
\angle \mathrm{A'BC} = \angle \mathrm{A'C'C} = \angle \mathrm{A'AC} = \angle \mathrm{A'B'C} = a
\end{equation}となります。
したがって、円周角の定理の逆により、6点A, B, C, A', B', C'は同一円周上に存在することが示されました。
円周角の定理の逆 - 数式で独楽する

以上より、A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致することであることが示されました。