「チェバの定理」
三角形ABCについて、
BC上に点P、AC上に点Q、AB上に点Rを定め、
AP, BQ, CRが1点Oで交わるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
チェバの定理は、三角形と3つの頂点を通る直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
証明は、いくつかあります。
本稿では、オーソドックスに補助線を引いてみます。
頂点Aを通り、辺BCに平行な直線を引きます。
この直線が直線BQ, CRと交わる点をそれぞれS, Tとします。
△ART∽△BRCなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{BR}} = \frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{BC}} \tag{1}
\end{equation}です。
△CQB∽△AQSなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{AQ}} = \frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AS}} \tag{2}
\end{equation}です。
△BPO∽△SAOなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{SA}} = \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}} \tag{3}
\end{equation}です。
△PCO∽△ATOなので、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{AT}} = \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}} \tag{4}
\end{equation}です。
式(1)~(4)を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}
&=& \frac{\ \displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}} \mathrm{AS}\ }{\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}} \mathrm{AT}} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AS}} \frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{BC}} \\
&=& \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AT}} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AS}} \frac{\mathrm{AT}}{\mathrm{BC}} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
が得ることができます。
