京大 2007年理系第4問 - 数式で独楽する

点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき、△ABCはどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

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円Oの半径を $R$ 、△ABCの内角A, B, Cの大きさをそれぞれ $A,B,C$ とします。
△OBCについて、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{OB} &=& \mathrm{OC} = R \\
\angle \mathrm{BOC} &=& 2A \\
\angle \mathrm{O BC} &=& \angle \mathrm{OCB} = \frac{\pi}{2} -A \\
\mathrm{BC} &=& 2R \sin A
\end{eqnarray}2番目の式は円周角の定理、4番目の式は正弦定理です。
円周角の定理 - 数式で独楽する
 正弦定理 - 数式で独楽する

△OBQについては、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{BQ} &=& \frac{4}{5} \, R \sin A \\
\mathrm{OQ}^2 &=& \mathrm{OB}^2 +\mathrm{BQ}^2 -2 \mathrm{OB} \cdot \mathrm{BQ} \cos \left( \frac{\pi}{2} -A \right) \\
&=& R^2 +\frac{16}{25} \, R^2 \sin^2 A -\frac{8}{5} \, R^2 \sin^2 A \\
&=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 A \right) R^2
\end{eqnarray}
第2余弦定理 - 数式で独楽する

同様にして、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OR}^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 B \right) R^2 \\
\mathrm{OP}^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 C \right) R^2
\end{eqnarray}を得ます。

ここで、△PQRの外心が点Oと一致するとき、
\begin{equation}
\mathrm{OQ = OR = OP}
\end{equation}です。
OQ = ORより、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OQ}^2 &=& \mathrm{OR}^2 \\
\left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 A \right) R^2 &=& \left( 1 -\frac{24}{25} \, \sin^2 B \right) R^2 \\
\sin^2 A &=& \sin^2 B
\end{eqnarray}です。
$0 < A < \pi, \ 0 < B < \pi$ なので $\sin A > 0, \ \sin B > 0$ です。したがって、
\begin{equation}
\sin A = \sin B
\end{equation}となります。
これより、以下のいずれが成り立ちます。
\begin{eqnarray}
B &=& A \\
B &=& \pi -A
\end{eqnarray}ただし、 $A +B +C = \pi$ なので、後者は成り立ちません。
よって
\begin{equation}
B = A
\end{equation}を得ます。