接弦定理

接弦定理
円の接線と接点を一方の端とする弦のなす角は、弦に対する円周角に等しい

接弦定理は、円の接線と弦と円周角についての定理です。

図において、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA}
\end{equation}
となるというものです。

一見、証明の筋道が見えません。工夫が必要です。

∠BAD = 90°の場合

辺ABは円の直径となり、∠BOA = 180°です。
円周角の定理より、∠BCA = 90°です。
円周角の定理 - 数式で独楽する
よって、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA}
\end{equation}を得ます。

∠BAD < 90°の場合

AE⊥ADとなるように円周上に点Eを定めます。
AEは円の直径となり、∠EOA = 180°です。
円周角の定理より、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BEA} &=& \angle \mathrm{BCA} \tag{1} \\
\angle \mathrm{EBA} &=& 90^\circ
\end{eqnarray}
です。
円周角の定理 - 数式で独楽する
一方、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BAD} = 90^\circ - \angle \mathrm{EAB} \\
\angle \mathrm{BEA} = 90^\circ - \angle \mathrm{EAB}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BEA} \tag{2}
\end{equation}です。
式(1), (2)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA}
\end{equation}を得ます。

∠BAD > 90°の場合

接線と弦のなす角が鋭角の場合の接弦定理(前項で証明済み)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{CAE} = \angle \mathrm{CBA} \tag{3}
\end{equation}です。
一方、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BAD} &=& 180^\circ - (\angle \mathrm{CAE} + \angle \mathrm{BAC}) \tag{4} \\
\angle \mathrm{BCA} &=& 180^\circ - (\angle \mathrm{CBA} + \angle \mathrm{BAC}) \tag{5}
\end{eqnarray}です。
式(3)~(5)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA}
\end{equation}を得ます。

まとめ

∠BADの角がいずれの場合でも
\begin{equation}
\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA}
\end{equation}となります。
円の接線と接点を一方の端とする弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しいことが証明されました。