偏差値
平均や分散
、標準偏差
は、
\begin{eqnarray}
m &=& E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \\
\sigma^2 &=& V(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i -m)^2 \\
\sigma &=& \sqrt{V(X)}
\end{eqnarray}などで算出します。
「偏差値」とは、変数(試験をしたときの個人の点数など)を、
\begin{equation}
z_i = 50 + \frac{x_i -m}{\sigma} \times 10
\end{equation}で変換したものをいいます。
つまり、平均を50、標準偏差を10として、個人の点数を表したものです。
平均が著しく低く、個人の点数が著しく高い場合、その個人の偏差値が100を超えることがあります。
逆に、偏差値がマイナスにもなり得ます。
「偏差値が70」と言うと、その人は上位約2.5%以内にいると言うことができます。ただし、正規分布を仮定しています。細かい数値は正規分布表で確かめてください。
知能指数
知能指数は、平均を100、標準偏差を約15(流儀によって値は微妙に異なります)として個人の知能を表したものです。
「IQ=130」は、上位から約2.5%の知能ということです。凡百の知能ではないのですが、有意水準5%で異常な知能と言うこともできます。
\begin{equation}
\mbox{IQ} = 100 + \frac{x_i -m}{\sigma} \times 15
\end{equation}です。
