次の関数
の最大値と最小値を求めよ。
\begin{eqnarray}
f(x) = e^{-x^2} +\frac{1}{4} \, x^2 +1 +\cfrac{1}{e^{-x^2} +\cfrac{1}{4} \, x^2 +1} \\
(-1 \leqq x \leqq 1)
\end{eqnarray}ただし、は自然対数の底であり、その値は
である。
解答例
\begin{equation}
g(x) = e^{-x^2} +\frac{1}{4} \, x^2 +1
\end{equation}とします。導関数は
\begin{eqnarray}
g'(x) &=& -2x \, e^{-x^2} +\frac{1}{2} \, x \\
&=& \frac{1}{2} \, x \left( -4e^{-x^2} +1 \right)
\end{eqnarray}です。
では、
\begin{eqnarray}
-1 & \leqq & -x^2 & \leqq & 0 \\
e^{-1} & \leqq & e^{-x^2} & \leqq & 1
\end{eqnarray}であることから、
\begin{eqnarray}
-4 \, e^{-x^2} +1 & \leqq & -4 \, e^{-1} +1 \\
&=& -\frac{4}{2.71 \cdots} +1 \\
&=& -1.4 \cdots +1 \\
&<& 0
\end{eqnarray}です。
したがって、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \\ \hline
g'(x) && + & 0 & - \\ \hline
g(x) & e^{-1} +\frac{5}{4} & \nearrow & 2 & \searrow & e^{-1} +\frac{5}{4} \\ \hline
\end{array}
つまり、
\begin{equation}
e^{-1} +\frac{5}{4} \leqq g(x) \leqq 2
\end{equation}です。なお、
\begin{equation}
e^{-1} +\frac{5}{4} = \frac{1}{2.71 \cdots} +\frac{5}{4} = 1.67 \cdots >1
\end{equation}です。
とすると
\begin{equation}
f(x) = y +\frac{1}{y}
\end{equation}となります。これをとします。
\begin{equation}
h'(y) = 1 -\frac{1}{y^2}
\end{equation}なので、における
の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
y & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline
h'(y) && - & 0 & + \\ \hline
h(y) && \searrow & 2 & \nearrow \\ \hline
\end{array}
よって、最小値は
\begin{eqnarray}
f(\pm 1) &=& e^{-1} +\frac{5}{4} +\cfrac{1}{e^{-1} +\cfrac{5}{4}} \\
&=& e^{-1} +\frac{5}{4} +\frac{4}{4 \, e^{-1} +5}
\end{eqnarray}最大値は
\begin{equation}
f(0) = 2 +\frac{1}{2} = \frac{5}{2}
\end{equation}です。
解説
見た目ややこしいですが、置き換えるとどうということはありません。
置き換えた先の定義域には注意が必要です。
