\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\pi (x^2 +1)} \tag{1}
\end{equation}なる確率密度関数で記述される分布を標準コーシー分布といいます。
全区間の積分
全区間の積分は1になります。
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{\pi (x^2 +1)} \\
&=& \left[ \frac{1}{\pi} \, \tan^{-1} x \right]_{-\infty}^\infty \\
&=& \frac{1}{\pi} \left \{ \frac{\pi}{2} -\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right \} \\
&=& 1 \tag{2}
\end{eqnarray}
の積分が逆正接関数となっており、全区間の積分はこのようになります。
逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
最頻値
最頻値は0です。
このとき
\begin{equation}
f(0) = \frac{1}{\pi}
\end{equation}です。
平均値
定義に従って平均値を求めてみます。
\begin{eqnarray}
E(X) &=& \int_{-\infty}^\infty x \, f(x) \, dx \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \frac{x \, dx}{\pi (x^2 +1)} \\
&=& \left[ \frac{1}{2\pi} \, \log (x^2 +1) \right] \\
&=& \infty -\infty
\end{eqnarray}不定形となり、平均値は定義できません。
コーシー分布は正規分布と似た形をしていますが、山は低く、裾が若干高くなっています。この微妙な違いが平均値を求められるかどうかを分けています。
次の図において
- 青 : 標準コーシー分布
- 赤 : 標準正規分布
です。
分散
分散と平均値の関係は、
\begin{equation}
V(X) = E \left( X^2 \right) -\left( E(X) \right)^2
\end{equation}です。
分散の性質 - 数式で独楽する
コーシー分布では平均値を定義できないので、分布も定義できません。
また、
\begin{eqnarray}
E \left( X^2 \right) &=& \int_{-\infty}^\infty x^2 \, f(x) \, dx \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2 \, dx}{x^2 +1} \\
&=& \int_{-\infty}^\infty \left( 1 -\frac{1}{x^2 +1} \right) dx \\
&=& \infty
\end{eqnarray}です。
一般的なコーシー分布
式(2)で
\begin{equation}
x \to \frac{x -x_0}{\gamma}
\end{equation}と置き換えると、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty \cfrac{\cfrac{dx}{\gamma}}{\pi \left \{ \cfrac{(x -x_0)^2}{\gamma^2} +1 \right \}}
= \int_{-\infty}^\infty \frac{\gamma \, dx}{\pi \left \{ (x -x_0)^2 +\gamma^2 \right \}}
= 1
\end{equation}となります。
\begin{equation}
f(x;x_0,\gamma) = \cfrac{1}{\pi \gamma \left \{ \cfrac{(x -x_0)^2}{\gamma^2} +1 \right \}}
= \frac{\gamma}{\pi \left \{ (x -x_0)^2 +\gamma^2 \right \}}
\end{equation}は、一般的なコーシー分布の確率密度関数です。
最頻値はです。
のとき、関数の値は最大値の半分になります。
は半値半幅(はんちはんはば、HWHM = half width at half maximum)、
は半値幅または半値全幅(はんちぜんはば、FWHM = full width at half maximum)と呼ばれます。
の場合が標準コーシー分布です。
