ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
平均が、分散が
の正規分布
の確率密度関数
\begin{equation}
f_{m, \sigma} (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \, \sigma} \, \exp \left( -\frac{(x -m)^2}{2\sigma^2} \right)
\end{equation}は
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f_{m, \sigma} (x) \, dx = 1
\end{equation}を満たします。
正規分布 - 数式で独楽する
として
としていくと、
- 山の幅はどこまでも狭くなります。
- 山の頂上はどこまでも高くなります。
- 裾の高さはどこまでも0に近付きます。
図はの確率密度関数を示しています。
山の低い方からです。
つまり、
\begin{equation}
\lim_{\sigma \to 0} f_{0,\sigma} (x) = \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{\pi} \, \sigma} \, \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma} \right) = \delta (x)
\end{equation}と見なすことができます。
もちろん、
\begin{equation}
\lim_{\sigma \to 0} f_{m,\sigma} (x) = \lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{\pi} \, \sigma} \, \exp \left( -\frac{(x -m)^2}{2\sigma} \right) = \delta (x -m)
\end{equation}です。
