素数は、
- 約数を2つ持つ数
です。
素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。
なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。
さて、この素数、無限に存在するかどうかですが、意外と容易に分かります。
素数が有限個しか存在しないと仮定します。
つまり、$n$個しか存在しないとし、その素数を
\begin{equation}
p_1, p_2, \cdots, p_n
\end{equation}とします。
そして、おもむろに
\begin{equation}
N = p_1 p_2 \cdots p_n +1
\end{equation}という数$N$を定めます。
「全ての」素数の積をとり、1を加えています。
この数$N$ですが、
- いずれの素数でも割り切れない(1余る)
ものとなっています。
つまり、合成数ではなく、素数ということになります。
これは、「素数が有限個しかない」という仮定に反します。
したがって、
- 素数は無限に存在する
ことが示されます。
