素数を分類してみる - 数式で独楽する

素数は、

約数を2つだけ持つ数

です。
素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。
なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。

本稿では、素数を3つに分けてみました。

2
3
2, 3以外の素数

2

素数のうち、偶数は2だけです。
他の偶数は2の倍数なので素数になりません。

3

2以外の素数は全て奇数です。
3で割り切れる素数は、当然ですが3だけです。
この3で割り切れるということが、後述するそれ以外の素数と比較して異彩を放っています。

2, 3以外の素数

3を除く奇数の素数 $p$ は、勿論、3で割り切れません。余りが出ます。
余りは1か2です。パターンが2つしかないので、非常に扱い易いです。
言い換えると1余るか1足りないということです。数式で書くと、
\begin{equation}
p \equiv \pm 1 \mod 3
\end{equation}です。
また、 $p^2$ は必ず1余ります。
\begin{equation}
p^2 \equiv 1 \mod 3
\end{equation}です。