を正の整数とし、の範囲で定義された2曲線 \begin{equation} C_1 \ : \ y = \cos x, \quad C_2 \ : \ y = \frac{1 -x^2}{1 +x^2} \end{equation}を考える。

を正の整数とし、の範囲で定義された2曲線 \begin{equation} C_1 \ : \ y = \cos x, \quad C_2 \ : \ y = \frac{1 -x^2}{1 +x^2} \end{equation}を考える。

を満たす整数の組をすべて求めよ。

2以上の自然数に対し、とがともに素数となるのはの場合に限ることを示せ。

を3以上の素数とする。4個の整数が次の条件

以下の分数式の中にある9個の□に、1から9までの整数をそれぞれ1個ずつあてはめていきます。

を2以上の素数とする。 が素数ならばも素数であることを示せ。

素数は、 約数を2つだけ持つ数 です。 素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。 なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。本稿では、素数を3つに分けてみました。

が素数ならば、 は素数でないことを示せ。

が共に素数とする。素数を求めよ。

素数は、 約数を2つ持つ数 です。 素数を割り切ることができるのは、1とその数自身のみということです。 なお、1は素数に含まれません。1の約数は1だけです。さて、この素数、無限に存在するかどうかですが、意外と容易に分かります。素数が有限個しか存在し…

自然数の関数を、 \begin{eqnarray} f(n) &=& nを7で割った余り \\ g(n) &=& 3 \, f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right) \end{eqnarray}によって定める。(1) すべての自然数に対してを示せ。(2) あなたの好きな自然数を一つ決めてを求めよ。そのの値をこの設問…

素数を用いてと表される素数をすべて求めよ。 解答例 解説 解答例 が共に奇数である場合、 は偶数、つまり2の倍数 になります。 したがって、少なくとも一方は偶数の素数、すなわち2となります。の場合、 \begin{equation} p^q + q^p = 2^2 + 2^2 = 8 \end{e…

が素数となるような整数をすべて求めよ。

ユークリッドの互除法は、2つの自然数の最大公約数を求める手法です。 自然数について、をで割った余りをとするとき、すなわち

フェルマーの小定理は、素数の性質に関する定理で、冪乗(巾乗、べき乗)の剰余の定理です。 かの有名なフェルマーの最終定理*1 フェルマーの小定理 素数、任意の整数に対して \begin{equation} a^p \equiv a \mod p \end{equation}が成り立つ。 特に、が互い…

\begin{equation} 3p^3 -p^2q -pq^2 +3q^3 = 2013 \end{equation}の自然数解を求めよ。

とする。とがともに素数となる整数をすべて求めよ。

エラトステネスの篩(ふるい)とは、 指定された整数以下の素数を全て取り出すことのできる、単純ですが強力な手法です。手順は次の通りです。 1を消す。 2以外の2の倍数を消す。 3以外の3の倍数を消す。 以下、同様。p以外のpの倍数を消す。 が指定の整数を超…