解答例
まず、
\begin{eqnarray}
a &>& b -8 \\
b &>& c -8
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
a > b > c
\end{equation}であることが分かります。
(i) a, b, cが全て奇数の場合
は共に偶数で素数、すなわち
\begin{eqnarray}
a -b -8 &=& 2 \\
b -c -8 &=& 2
\end{eqnarray}です。つまり、
\begin{eqnarray}
a &=& b +10 \\
b &=& c +10
\end{eqnarray}です。
したがって、を3で割った余りをまとめると、次のようになります。なお、
を、単に
と書くことにします。
\begin{array}{|ccc|}
\hline
c \equiv 0 & b \equiv 10 \equiv 1 & a \equiv 20 \equiv 2 \\ \hline
c \equiv 1 & b \equiv 11 \equiv 2 & a \equiv 21 \equiv 0 \\ \hline
c \equiv 2 & b \equiv 12 \equiv 0 & a \equiv 22 \equiv 1 \\ \hline
\end{array}
これより、
の場合、
のいずれかが必ず3の倍数になります。
の場合、
はいずれも素数です。
(ii) cが偶数の場合
すなわち
\begin{equation}
c=2
\end{equation}です。
\begin{equation}
b -c -8 = d
\end{equation}とすると、は奇数の素数であることが分かります。つまり、
\begin{equation}
b -d -8 =2
\end{equation}が成り立ちます。
したがって、素数について上記(i)項が成り立ちます。
よって、
\begin{equation}
d=3, \ b=13, \ a=23
\end{equation}を得ます。
まとめ
以上より、条件を満たす素数は、
\begin{equation}
a=23, \ b=13, \ c=3
\end{equation}または
\begin{equation}
a=23, \ b=13, \ c=2
\end{equation}のみとなります。
解説
素数の問題です。
条件を満たす素数は無限にあるように見えます。
手掛かりが見当たらず、試験で出会えばほぼ間違いなく避けるであろう問題です。
ここでも、「偶数の素数は2のみ」ということが、強力な武器になります。
素数が全て奇数と仮定すると、3つの数は10ずつ離れることになります。
並べてみると、
\begin{equation}
(\underline{3},13,23), (7,17, \underline{27}), (11, \underline{21},31), (13,23, \underline{33}), (17, \underline{27},37), \cdots
\end{equation}と、3の倍数が入って来ます。3以外の素数は3で割ると余りが出ます。なので3で割った余りで分類する発想が出て来ます。
実際にやってみると、(3, 13, 23)の組しかないことが分かります。
この設問も、条件を弾くのに背理法(悖理法)っぽいことをやっています。
背理法 - 数式で独楽する
最も小さいが偶数すなわち2の場合は、
は奇数になるので、(i)項に帰着できます。
