自然数
の関数
を、
\begin{eqnarray}
f(n) &=& nを7で割った余り \\
g(n) &=& 3 \, f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right)
\end{eqnarray}によって定める。
「あなたの得点とする」とあるのが試験ではあり得ない表現です。
ほんとかよ？ と疑ってしまいます。興味を引くものがあります。
一方で、余りをテーマにしていて、取り付きにくい印象も併せ持っています。
小問(1)の解答例1
フェルマーの小定理
フェルマーの小定理 - 数式で独楽する
により、全ての自然数について
\begin{equation}
n^7 \equiv n \mod 7
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
f(n^7) = f(n)
\end{equation}が成り立ちます。(証明終わり)
小問(1)の解答例2
フェルマーの小定理で一発、ではあんまりなので別の手法でやってみます。
\begin{equation}
n^7 -n \equiv 0 \mod 7
\end{equation}を示します。以下、「」を単に「
」と書くことにします。
\begin{eqnarray}
n^7 -n &=& n(n^6 -1) \\
&=& n(n^3 -1)(n^3 +1) \\
&=& n(n -1)(n +1)(n^2 +n +1)(n^2 -n +1)
\end{eqnarray}です。
の場合、明らかに
です。
の場合、
\begin{equation}
n^2 +n +1 \equiv 7 \equiv 0
\end{equation}です。
の場合、
\begin{equation}
n^2 -n +1 \equiv 7 \equiv 0
\end{equation}です。
以上より、のいずれの場合でも、言い換えると全ての
に対して、
\begin{equation}
n^7 -n \equiv 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
f(n^7) = f(n)
\end{equation}が成り立ちます。(証明終わり)
小問(2)の解答例
小問(1)の結果から
\begin{eqnarray}
f(k^7) &=& f(k) \\
f(k^{n+6}) &=& f(k^n)
\end{eqnarray}なので、のみを考慮すればよくなります。
1~6の冪乗を7で割った余りは以下のようになります。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
1^2 \equiv 1 & 2^2 = 4 & 3^2 = 9 \equiv 2 & 4^2 = 16 \equiv 2 & 5^2 = 25 \equiv 4 & 6^2 = 36 \equiv 1 \\
1^3 \equiv 1 & 2^3 = 8 \equiv 1 & 3^3 \equiv 6 & 4^3 \equiv 8 \equiv 1 & 5^3 \equiv 20 \equiv 6 & 6^3 \equiv 6 \\
1^4 \equiv 1 & 2^4 \equiv 2 & 3^4 \equiv 18 \equiv 4 & 4^4 \equiv 4 & 5^4 \equiv 30 \equiv 2 & 6^4 \equiv 36 \equiv 1 \\
1^5 \equiv 1 & 2^5 \equiv 4 & 3^5 \equiv 12 \equiv 5 & 4^5 \equiv 16 \equiv 2 & 5^5 \equiv 10 \equiv 3 & 6^5 \equiv 6 \\
1^6 \equiv 1 & 2^6 \equiv 8 \equiv 1 & 3^6 \equiv 15 \equiv 1 & 4^6 \equiv 8 \equiv 1 & 5^6 \equiv 15 \equiv 1 & 6^6 \equiv 36 \equiv 1 \\ \hline
\end{array}
したがって、
\begin{eqnarray}
f(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7) & \equiv & 28 \equiv 0 \\
f(1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +5^2 +6^2 +7^2) & \equiv & 1+4+2+2+4+1+0 =14 \equiv 0 \\
f(1^3 +2^3 +3^3 +4^3 +5^3 +6^3 +7^3) & \equiv & 1+1+6+1+6+6+0 =21 \equiv 0 \\
f(1^4 +2^4 +3^4 +4^4 +5^4 +6^4 +7^4) & \equiv & 1+2+4+4+2+1+0 =14 \equiv 0 \\
f(1^5 +2^5 +3^5 +4^5 +5^5 +6^5 +7^5) & \equiv & 1+4+5+2+3+6+0 =21 \equiv 0 \\
f(1^6 +2^6 +3^6 +4^6 +5^6 +6^6 +7^6) & \equiv & 1+1+1+1+1+1+0 =6
\end{eqnarray}を得ます。
これより、
\begin{eqnarray}
g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5) &=& 0 \\
g(6) &=& 18
\end{eqnarray}となります。
ゆえに、を選び、
として18点を下さい。
