京大2016年 理系 第3問

四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ。

条件：頂点 A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る。

ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の 3 つの頂点がなす三角形のことをいう。

解答例

頂点Aから対面OBCに下ろした垂線の足をHとします。
Hは△OBCの外心すなわち外接円の中心でもあるので、

AH⊥OH, AH⊥BH, AH⊥CH
OH = BH = CH
が成り立ちます。
したがって、
AO = AB = AC　(1)
を得ます。*1

頂点B, Cについても同様に、

BO = BA = BC　(2)
CO = CA = CB　(3)
を得ます。

式(1)~(3)により、四面体OABCの辺の長さは全て等しくなります。
よって、四面体OABCは正四面体であることが示されました。(証明終わり)

解説

ベクトルや座標空間を持ち出すと、泣きを見る問題です。

• 外心の性質
• 平面に対する垂線の性質

を心得ていれば、拍子抜けするほど簡単です。

*1:三角形OAH, BAH, CAHが全て合同です。三平方の定理を用いてもできます。