逆、裏、対偶 - 数式で独楽する

命題「 $p$ ならば $q$ 」を考えます。

\begin{equation}
p \longrightarrow q
\end{equation}と書きます。この書き方を「条件式」といいます。

この命題が真*1である場合に、次の命題の真偽を考えていきます。
\begin{eqnarray}
q &\longrightarrow& p \\
\bar{p} &\longrightarrow& \bar{q} \\
\bar{q} &\longrightarrow& \bar{p}
\end{eqnarray}

なお、頭の横棒 $\bar{}$ は、命題の否定を表します。
命題 $\bar{p}$ は、「 $p$ ではない」ことを表します。
上に掲げた条件式はそれぞれ

$q$ ならば $p$
$p$ ではないならば $q$ ではない
$q$ ではないならば $p$ ではない

という意味です。
それぞれ呼称があります。元の命題 $p \longrightarrow q$ に対して

逆
裏
対偶

といいます。

さて、元の命題 $p \longrightarrow q$ が真である状況を図にすると、次のようになります。*2
命題 $p$ を満たしていれば、もれなく命題 $q$ を満たしています。
命題 $p$ は、命題 $q$ に包括されています。
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逆

「 $p$ ならば $q$ である」 $p \longrightarrow q$ に対し、
「 $q$ ならば $p$ である」
\begin{equation}
q \longrightarrow p
\end{equation}なる命題を「逆」といいます。
図を見ると、 $q$ を満たすが $p$ を満たさない領域があることが分かります。
つまり、逆は必ずしも真であるとは言えないということです。

なお、逆の逆は元の命題です。

裏

「 $p$ ではないならば $q$ でない」
\begin{equation}
\bar{p} \longrightarrow \bar{q}
\end{equation}なる命題を「裏」といいます。
図を見ると、 $p$ は成り立たないが $q$ は成り立つ領域があることが分かります。
つまり、裏も必ずしも真ではないということです。

なお、裏の裏は元の命題です。

対偶

「 $q$ でないならば $p$ でない」
\begin{equation}
\bar{q} \longrightarrow \bar{p}
\end{equation}なる命題を「対偶」といいます。
図も見ると、命題 $q$ を満たしていない状況は、もれなく命題 $p$ も満たしていない状況になっています。
したがって、元の命題が真であるならば、その対偶も必ず真であることが言えるのです。

なお、