京大2021年 理系 第4問

曲線のの部分の長さを求めよ。

解答例

曲線の長さは、
\begin{equation}
l = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 +\left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx \tag{1}
\end{equation}と表されます。
\begin{equation}
y = \log (1+ \cos x)
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{-\sin x}{1 +\cos x} \\
1 +\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 &=& \frac{(1 +\cos x)^2 +\sin^2 x}{(1 +\cos x)^2} \\
&=& \frac{1 +2\cos x +\cos^2 x +\sin^2 x}{(1 +\cos x)^2} \\
&=& \frac{2(1 +\cos x)}{(1 +\cos x)^2} \\
&=& \frac{2}{1 +\cos x} \\
&=& \cfrac{1}{\cos^2 \cfrac{x}{2}}
\end{eqnarray}となります。*1

なので、
\begin{equation}
\cos \frac{x}{2} \geqq 0\end{equation}です。したがって、
\begin{equation}
\sqrt{1 +\left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \cfrac{1}{\cos \cfrac{x}{2}}
\end{equation}となります。

これより、式(1)は
\begin{eqnarray}
l &=& \int_0^{\pi/2} \cfrac{dx}{\cos \cfrac{x}{2}} \\
&=& \int_0^{\pi/2} \cfrac{\cos \cfrac{x}{2}}{\cos^2 \cfrac{x}{2}} \, dx \\
&=& 2\int_0^{\pi/2} \cfrac{\cfrac{1}{2} \cos \cfrac{x}{2}}{1 -\sin^2 \cfrac{x}{2}} \, dx \tag{2}
\end{eqnarray}と変形できます。

ここで、
\begin{equation}
t = \sin \frac{x}{2}
\end{equation}と変換します。
変数$t$は$x$について単調増加であり、積分の範囲は
\begin{equation}
0 \leqq t \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{equation}となります。
また、
\begin{equation}
dt = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx
\end{equation}です。*2

これら全てを式(2)に代入します。曲線の長さが得られます。
\begin{eqnarray}
l &=& 2\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{dt}{1 -t^2} \\
&=& 2\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{dt}{(1 -t)(1 +t)} \\
&=& \int_0^{1/\sqrt{2}} \left( \frac{1}{1 -t} +\frac{1}{1 +t} \right) dt \\
&=& \biggl[ -\log |1 -t| +\log |1+ t| \biggr]_0^{1/\sqrt{2}} \\
&=& \left[ \log \left| \frac{1 +t}{1 -t} \right| \right]_0^{1/\sqrt{2}} \\
&=& \log \cfrac{1 +\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1 -\cfrac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \log \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1} \\
&=& \log (\sqrt{2} +1)^2 \\
&=& 2\log (\sqrt{2} +1)
\end{eqnarray}

解説

積分の計算問題です。曲線の長さは「定義」に当てはめて求めることになります。
計算を進めていくのにたくさんの工夫が必要です。

• 根号を外すところ
• 余弦の逆数(正割)の積分

は類題をこなして見極められるようにしたいです。

*1:途中、 \begin{eqnarray} \cos^2 x +\sin^2 x &=& 1 \\ \cos^2 \frac{x}{2} &=& \frac{\cos x +1}{2} \end{eqnarray}を用いています。 三角関数・2乗の和 - 数式で独楽する 半角の公式 - 数式で独楽する

*2:これは正割の積分です。 三角関数の不定積分4 ~ 正割の不定積分 - 数式で独楽する