京大 1991年 前期 理系 第2問 その4 (おまけ)

行列で表される1次変換をとする。

(1) による全平面の像は、直線であることを示せ。

(2) 平面上の点Pに対し、上の点でPとの距離が最小となる点をQとし、による像がQとなる点のうちで表す原点との距離が最小となる点をP'とする。P'の座標をで表せ。

(3) 点Pを点P'を対応させる写像をとする。合成写像およびを求めよ。

小問(1)の解答例

京大 1991年 前期 理系 第2問 その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

京大 1991年 前期 理系 第2問 その2 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

京大 1991年 前期 理系 第2問 その3 - 数式で独楽する

小問(3)の補足

本設問で登場する行列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{r}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{array} \right) , \quad
B = \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr}
1 & -2 \\
-1 & 2
\end{array} \right)
\end{equation}の固有値、固有ベクトルは、
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) &=& 0 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), & \quad A \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) &=& 3 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \\
B \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) &=& 0 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right), & \quad B \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right) &=& \frac{3}{10} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}です。

一方の行列の固有ベクトルを他方の行列の固有ベクトルで表すことを考えます。
縮退しない方の固有ベクトルは、
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
&=& - \frac{1}{3} \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right)
+ \frac{5}{3} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
&=& \frac{1}{3} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ \frac{2}{3} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{eqnarray}で表すことができます。

これを踏まえると、平面上の任意のベクトルを写像で変換すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
p \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
& \stackrel{f}{\longrightarrow} & 3q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
= q \left[ - \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right)
+ 5 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right) \right] \\
& \stackrel{g}{\longrightarrow} & \frac{3}{2} \ q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
= \frac{1}{2} \ q \left[ \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ 2 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \right] \\
& \stackrel{f}{\longrightarrow} & 3q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \\
s \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
& \stackrel{g}{\longrightarrow} & \frac{3}{10} \ t \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
= \frac{1}{10} \ t \left[ \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right)
+ 2 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \right] \\
& \stackrel{f}{\longrightarrow} & \frac{3}{5} \ t \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
= \frac{1}{5} \ t \left[ \left( - \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right)
+ 5 \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) \right] \\
& \stackrel{g}{\longrightarrow} & \frac{3}{10} \ t \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}
これより、
\begin{eqnarray}
f \circ g \circ f &=& f \\
g \circ f \circ g &=& g
\end{eqnarray}となっていることが分かります。