2002年後期京大理系第4問 - 数式で独楽する

$f(x)$ は $x^n$ の係数が1である $x$ の $n$ 次式である。相異なる $n$ 個の有理数 $q_1, \ q_2, \ \cdots, \ q_n$ に対して $f(q_1), \ f(q_2), \ \cdots, \ f(q_n)$ がすべて有理数であれば、 $f(x)$ の係数はすべて有理数であることを、数学的帰納法を用いて示せ。

解答例
解説

解答例

$n$ 次式 $f(x)$ を
\begin{equation}
f_n (x) = x^n +p_1 x^{n -1} +p_2 x^{n -2} +\cdots +p_{n -1} x +p_n
\end{equation}と表記することとします。

(i) $n = 1$ の場合
\begin{equation}
f_1 (x) = x +p_1
\end{equation}に対し、
\begin{equation}
f_1 (q_1) = q_1 +p_1
\end{equation}です。
$q_1, \ f_1(q_1)$ が有理数ならば、 $p_1$ も有理数となります。
よって、本命題は $n = 1$ のとき成り立ちます。

(ii) $n = k$ の場合に本命題が成り立つと仮定します。
つまり、
\begin{equation}
f_k (x) = x^k +p_1 x^{k -1} +p_2 x^{k -2} +\cdots +p_{k -1} x +p_k
\end{equation}について、相異なる $k$ 個の有理数
\begin{equation}
q_1, \ q_2, \ \cdots, \ q_k
\end{equation}に対し
\begin{equation}
f_k (q_1), \ f_k (q_2), \ \cdots, \ f_k (q_k)
\end{equation}が全て有理数であれば、
\begin{equation}
p_1, \ p_2, \ \cdots, \ p_k
\end{equation}は全て有理数であると仮定します。

ここで、 $k +1$ 次式
\begin{eqnarray}
f_{k +1} (x) &=& x \, f_k (x) +p_{k +1} \\
&=& x^{k +1} +p_1 \, x^k +p_2 \, x^{k -1} +\cdots +p_k \, x +p_{k +1}
\end{eqnarray}を定めます。
このとき、有理数
\begin{equation}
q_1, \ q_2, \ \cdots, \ q_k, \ q_{k +1}
\end{equation}に対し、
\begin{equation}
f_{k +1}(q_1), \ f_{k +1}(q_2), \cdots, \ f_{k +1}(q_k), \ f_{k +1}(q_{q +1})
\end{equation}が有理数であれば、
$p_{k +1}$ も有理数となります。

よって、 $n = k +1$ の場合も本命題は成り立っています。

以上より、本命題が成り立つことが証明されました。

解説

任意の $n$ 次式に対して、1次式から順に命題を満たすことをみていけば、元の $n$ 次式でも命題が成り立つ、という寸法です。

数学的帰納法を用いずとも、証明は可能と思います。
\begin{equation}
f_n(q_i) = {q_i}^n + p_1 {q_i}^{n -1} +\cdots +p_{n -1} q_i +p_n \quad (i = 1, 2, \cdots, n)
\end{equation}なる $n$ 元1次連立方程式ができます。
$p_i$ は $n$ 本の方程式の四則演算で求めることができるので、各 $q_i, \ f_n(q_i)$ が有理数であれば、係数も有理数となります。