2004年前期京大理系第5問別解

複素数 $\alpha$ に対してその共役複素数を $\bar{\alpha}$ で表す。 $\alpha$ を実数ではない複素数とする。複素平面内の円 $C$ が $1, -1, \alpha$ を通るならば、 $C$ は $\displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ も通ることを示せ。

解答例
解説

解答例

$0, \ 1, \ -1, \ \alpha, \ \displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ を表す点をそれぞれO, A, B, P, Qとします。
\begin{equation}
-\frac{1}{\bar{\alpha}} = -\frac{\alpha}{|\alpha|^2}
\end{equation}なので、3点P, O, Qはこの順で同一直線上にあります。
また、PQはABとOで交わります。

\begin{eqnarray}
\mathrm{OA} &=& 1 \\
\mathrm{OB} &=& 1 \\
\mathrm{OP} &=& |\alpha| \\
\mathrm{OQ} &=& \frac{1}{|\alpha}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\mathrm{OP \cdot OQ} = \mathrm{OA \cdot OB}
\end{equation}となっています。
方べきの定理の逆により、4点A, B, P, Qつまり $1, \ -1, \ \alpha, \ \displaystyle -\frac{1}{\bar{\alpha}}$ は同一円周上にあることが示されます。
方べきの定理の逆 - 数式で独楽する