京大 2012年理系第6問その2 - 数式で独楽する

さいころを $n$ 回投げて出た目を順に $.X_1, X_2, \cdots, X_n$ とする。さらに
\begin{equation}
Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n)
\end{equation}によって $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ を定める。 $\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3}$ となる確率 $p_n$ を求めよ。

解答例、つづき
後半の解説

解答例、つづき

京大 2012年理系第6問その1 - 数式で独楽する

ここまでをまとめると、各 $Y_{k -1}$ に対して $\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_k \leqq 1 +\sqrt{3}$ となる $X_k$ は次のようになります。
\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y_{k -1} & X_k \\ \hline
\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3} & 1, 2 \\
\displaystyle 1 \leqq Y_{k -1} < \frac{1 +\sqrt{3}}{2} & 1 \\
1 +\sqrt{3} < Y_{k -1} & 2 \\ \hline
\end{array}
また、
\begin{equation}
\frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_1 = X_1 \leqq 1 +\sqrt{3}
\end{equation}となるのは
\begin{equation}
X_1 = 2
\end{equation}のみです。

したがって、
\begin{eqnarray}
p_1 &=& \frac{1}{6} \tag{1} \\
p_k &=& \frac{1}{3} \, p_{k -1} +\frac{1}{6} \, (1 -p_{k -1}) \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(2)を変形していき、式(1)を用いると
\begin{eqnarray}
p_k &=& \frac{1}{6} \, p_{k -1} +\frac{1}{6} \\
p_k -\frac{1}{5} &=& \frac{1}{6} \, \left( p_{k -1} -\frac{1}{5} \right) \\
p_k -\frac{1}{5} &=& \left( \frac{1}{6} \right)^{k -1} \left( p_1 -\frac{1}{5} \right)\\
&=& -\frac{1}{30} \left( \frac{1}{6} \right)^{k -1}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、求める確率は、
\begin{equation}
p_n = \frac{1}{5} -\frac{1}{5} \left( \frac{1}{6} \right)^n
\end{equation}となります。