実数
が条件
を満たしながら動くとき、
\begin{equation}
x^2 y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y
\end{equation}がとりうる値の範囲を求めよ。
解答例
\begin{equation}
S = x^2 y +xy^2 -x^2 -2xy -y^2 +x +y \tag{1}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
x^2 +xy +y^2 =6 \tag{2}
\end{equation}より、
\begin{equation}
(x +y)^2 -xy = 6 \tag{3}
\end{equation}なので、式(1)は
\begin{eqnarray}
S &=& xy(x +y) -(x +y)^2 +(x +y) \\
&=& \left \{ (x +y)^2 -6 \right \} (x +y) -(x +y)^2 +(x +y)
\end{eqnarray}と変形できます。
ここで、
\begin{equation}
x +y = t \tag{4}
\end{equation}と置くと、式(1)は
\begin{eqnarray}
S &=& (t^2 -6)t -t^2 +t \\
&=& t^3 -t^2 -5t \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
一方、式(3), (4)により式(2)は
\begin{eqnarray}
t^2 -x(t -x) &=& 6 \\
x^2 -tx +t^2 -6 &=& 0
\end{eqnarray}となります。
が実数なので、
\begin{eqnarray}
D &=& t^2 -4(t^2 -6) \\
&=& -3t^2 -24 \\
&=& -3(t^2 -8) \geqq 0
\end{eqnarray}なる条件が付きます。つまりの範囲は
\begin{equation}
-2\sqrt{2} \leqq t \leqq 2\sqrt{2} \tag{6}
\end{equation}に限定されます。
さて、
\begin{eqnarray}
S' &=& 3t^2 -2t +5 \\
&=& (3t -5)(t +1)
\end{eqnarray}なので、式(6)を踏まえると、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
t & -2\sqrt{2} & \cdots & -1 & \cdots & \frac{5}{3} & \cdots & 2\sqrt{2} \\ \hline
S' && + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline
S & -8 -6\sqrt{2} & \nearrow & 3 &\searrow & -\frac{175}{27} & \nearrow & -8 +6\sqrt{2} \\ \hline
\end{array}
よって、のとり得る範囲は、
\begin{equation}
-8 -6\sqrt{2} \leqq S \leqq 3
\end{equation}となります。
解説
問題の式を知恵を搾ってで表現することに尽きます。
が実数であることから
にも制限がかかり、その範囲で問題の式のとり得る範囲を求めることになります。
