京大 2012年理系第6問その1 - 数式で独楽する

さいころを $n$ 回投げて出た目を順に $.X_1, X_2, \cdots, X_n$ とする。さらに
\begin{equation}
Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} \ (k =2, \cdots , n)
\end{equation}によって $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ を定める。 $\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3}$ となる確率 $p_n$ を求めよ。

解答例
ここまでの解説

解答例

まず、 $i =1, 2, \cdots , n$ に対し、 $X_i = 1,2,3,4,5,6$ なので、 $Y_i$ の定義により
\begin{equation}
Y_i \geqq 1
\end{equation}です。

(i) $\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_{k -1} \leqq 1 +\sqrt{3}$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{1 -\sqrt{3}}{2} & \leqq & \frac{1}{Y_{k.-1}} & \leqq & \sqrt{3} -1 \\
X_k +\frac{1 -\sqrt{3}}{2} & \leqq & X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} & \leqq & X_k +\sqrt{3} -1
\end{eqnarray}です。
$\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3}$ となるのは
\begin{eqnarray}
\frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq X_k +\frac{\sqrt{3} -1}{2} &\quad かつ\quad & X_k +\sqrt{3} -1 \leqq 1 +\sqrt{3} \\
1 \leqq X_k & \quad かつ\quad & X_k \leqq 2
\end{eqnarray}のときとなります。
まとめると
\begin{equation}
1 \leqq X_k \leqq 2
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
X_k = 1,2
\end{equation}のときとなります。

(ii) $\displaystyle 1 \leqq Y_{k -1} < \frac{1 +\sqrt{3}}{2}$ の場合
\begin{eqnarray}
\sqrt{3} -1 &<& \frac{1}{Y_{k -1}} & \leqq & 1 \\
X_k +\sqrt{3} -1 &<& X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} & \leqq & X_k +1
\end{eqnarray}です。
$\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3}$ となるのは
\begin{eqnarray}
\frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq X_k +\sqrt{3} -1 & \quad かつ \quad & X_k +1 \leqq 1 +\sqrt{3} \\
\frac{3 -\sqrt{3}}{2} \leqq X_k & \quad かつ \quad & X_k \leqq \sqrt{3}
\end{eqnarray}となります。
まとめると
\begin{equation}
\frac{3 -\sqrt{3}}{2} \leqq X_k \leqq \sqrt{3}
\end{equation}ですが、この中にある整数は
\begin{equation}
X_k =1
\end{equation}のみです。

(iii) $1+\sqrt{3} < Y_{k -1}$ の場合
\begin{eqnarray}
\frac{1}{Y_{k -1}} &<& \frac{\sqrt{3} -1}{2} \\
X_k +\frac{1}{Y_{k -1}} &<& X_k +\frac{\sqrt{3} -1}{2}
\end{eqnarray}です。
$\displaystyle \frac{1 +\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1 +\sqrt{3}$ となるのは
\begin{eqnarray}
\frac{1 +\sqrt{3}}{2} &<& X_k +\frac{\sqrt{3} -1}{2} \leqq 1 +\sqrt{3} \\
1 &<& X_k \leqq \frac{3 +\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}となります。この中にある整数は
\begin{equation}
X_k = 2
\end{equation}のみです。